---

Step * 1 2 of Lemma unsquashed-monotone-bar-induction8-false


1. ∀Q:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])) ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])) ⇒ Q[0;λx.⊥])
2. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
3. a : ℕ ⟶ ℕ
4. f : ℕ ⟶ ℕ
⊢ ⇃(∃n:ℕ
     ∀m:{n...}
       ∃n:{m...}. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((∀i:ℕn. ((rep-seq-from(f;m;a) i) = (b i) ∈ ℕ)) ⇒ ((F rep-seq-from(f;m;a)) = (F b) ∈ ℕ)))
BY
{ ((InstLemma `strong-continuity2-implies-weak` [⌜F⌝;⌜f⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ⌜(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
                 ⇒ (∃n:ℕ
                      ∀m:{n...}
                        ∃n:{m...}
                         ∀b:ℕ ⟶ ℕ
                           ((∀i:ℕn. ((rep-seq-from(f;m;a) i) = (b i) ∈ ℕ)) ⇒ ((F rep-seq-from(f;m;a)) = (F b) ∈ ℕ)))⌝⋅
   THENM (FLemma `implies-quotient-true` [-1] THEN Auto)
   )
   THEN Thin (-1)
   THEN (D 0 THENA Auto)) }

1
1. ∀Q:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])) ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])) ⇒ Q[0;λx.⊥])
2. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
3. a : ℕ ⟶ ℕ
4. f : ℕ ⟶ ℕ
5. ∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ))
⊢ ∃n:ℕ
   ∀m:{n...}
     ∃n:{m...}. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((∀i:ℕn. ((rep-seq-from(f;m;a) i) = (b i) ∈ ℕ)) ⇒ ((F rep-seq-from(f;m;a)) = (F b) ∈ ℕ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}Q:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
          ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  Q[n  +  1;s.m@n])  {}\mRightarrow{}  Q[n;s]))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{n...\}.  Q[m;f]))
          {}\mRightarrow{}  Q[0;\mlambda{}x.\mbot{}])
2.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
\mvdash{}  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}
          \mforall{}m:\{n...\}
              \mexists{}n:\{m...\}
                \mforall{}b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
                    ((\mforall{}i:\mBbbN{}n.  ((rep-seq-from(f;m;a)  i)  =  (b  i)))  {}\mRightarrow{}  ((F  rep-seq-from(f;m;a))  =  (F  b))))


By

---

Latex:
((InstLemma  `strong-continuity2-implies-weak`  [\mkleeneopen{}F\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g))))
                              {}\mRightarrow{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}
                                        \mforall{}m:\{n...\}
                                            \mexists{}n:\{m...\}
                                              \mforall{}b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
                                                  ((\mforall{}i:\mBbbN{}n.  ((rep-seq-from(f;m;a)  i)  =  (b  i)))
                                                  {}\mRightarrow{}  ((F  rep-seq-from(f;m;a))  =  (F  b))))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  (FLemma  `implies-quotient-true`  [-1]  THEN  Auto)
  )
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  (D  0  THENA  Auto))

---

Home Index