---

Step * 1 of Lemma unsquashed-monotone-bar-induction8-false


1. ∀Q:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])) ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])) ⇒ Q[0;λx.⊥])
2. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
3. a : ℕ ⟶ ℕ
⊢ ∃n:ℕ. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((∀i:ℕn. ((a i) = (b i) ∈ ℕ)) ⇒ ((F a) = (F b) ∈ ℕ))
BY
{ ((InstHyp [⌜λ2k.λ2f.∃n:{k...}
                       ∀b:ℕ ⟶ ℕ
                         ((∀i:ℕn. ((rep-seq-from(f;k;a) i) = (b i) ∈ ℕ)) ⇒ ((F rep-seq-from(f;k;a)) = (F b) ∈ ℕ))⌝
    ] (-3)⋅
    THENA Auto
    )
   THEN AllReduce
   ) }

1
1. ∀Q:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])) ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])) ⇒ Q[0;λx.⊥])
2. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
3. a : ℕ ⟶ ℕ
4. n : ℕ
5. s : ℕn ⟶ ℕ
6. ∀m:ℕ
     ∃n@0:{n + 1...}
      ∀b:ℕ ⟶ ℕ
        ((∀i:ℕn@0. ((rep-seq-from(s.m@n;n + 1;a) i) = (b i) ∈ ℕ)) ⇒ ((F rep-seq-from(s.m@n;n + 1;a)) = (F b) ∈ ℕ))
⊢ ∃n@0:{n...}. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((∀i:ℕn@0. ((rep-seq-from(s;n;a) i) = (b i) ∈ ℕ)) ⇒ ((F rep-seq-from(s;n;a)) = (F b) ∈ ℕ))

2
1. ∀Q:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])) ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])) ⇒ Q[0;λx.⊥])
2. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
3. a : ℕ ⟶ ℕ
4. f : ℕ ⟶ ℕ
⊢ ⇃(∃n:ℕ
     ∀m:{n...}
       ∃n:{m...}. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((∀i:ℕn. ((rep-seq-from(f;m;a) i) = (b i) ∈ ℕ)) ⇒ ((F rep-seq-from(f;m;a)) = (F b) ∈ ℕ)))

3
1. ∀Q:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])) ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])) ⇒ Q[0;λx.⊥])
2. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
3. a : ℕ ⟶ ℕ
4. ∃n:{0...}. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((∀i:ℕn. ((rep-seq-from(λx.⊥;0;a) i) = (b i) ∈ ℕ)) ⇒ ((F rep-seq-from(λx.⊥;0;a)) = (F b) ∈ ℕ))
⊢ ∃n:ℕ. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((∀i:ℕn. ((a i) = (b i) ∈ ℕ)) ⇒ ((F a) = (F b) ∈ ℕ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}Q:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
          ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  Q[n  +  1;s.m@n])  {}\mRightarrow{}  Q[n;s]))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{n...\}.  Q[m;f]))
          {}\mRightarrow{}  Q[0;\mlambda{}x.\mbot{}])
2.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((\mforall{}i:\mBbbN{}n.  ((a  i)  =  (b  i)))  {}\mRightarrow{}  ((F  a)  =  (F  b)))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}k.\mlambda{}\msubtwo{}f.\mexists{}n:\{k...\}
                                          \mforall{}b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
                                              ((\mforall{}i:\mBbbN{}n.  ((rep-seq-from(f;k;a)  i)  =  (b  i)))
                                              {}\mRightarrow{}  ((F  rep-seq-from(f;k;a))  =  (F  b)))\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}
    THENA  Auto
    )
  THEN  AllReduce
  )

---

Home Index