---

Step * 2 1 2 1 1 2 2 1 of Lemma weak-Markov-principle2


1. a : ℕ*
2. ∀c:ℕ*. ((¬¬(∃n:ℕ. (¬((a n) = (c n) ∈ ℤ)))) ∨ (¬¬(∃n:ℕ. (¬(0 = (c n) ∈ ℤ)))))
3. ∀c:ℕ ⟶ ℕ
     ∃i:ℕ
      (((i = 0 ∈ ℤ) ⇒ (¬¬(∃n:ℕ. (¬((a n) = (nat-star-retract(c) n) ∈ ℤ)))))
      ∧ ((¬(i = 0 ∈ ℤ)) ⇒ (¬¬(∃n:ℕ. (¬(0 = (nat-star-retract(c) n) ∈ ℤ))))))
4. F : c:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
5. ∀c:ℕ ⟶ ℕ
     ((((F c) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (¬¬(∃n:ℕ. (¬((a n) = (nat-star-retract(c) n) ∈ ℤ)))))
     ∧ ((¬((F c) = 0 ∈ ℤ)) ⇒ (¬¬(∃n:ℕ. (¬(0 = (nat-star-retract(c) n) ∈ ℤ))))))
6. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
7. (F 0) = 0 ∈ ℤ
8. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((0 = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ (0 = (F g) ∈ ℕ)))
9. ↓∃n:ℕ. (¬(0 = a ∈ (ℕn ⟶ ℕ)))
10. ↓∃k:ℕ. (¬((a k) = (0 k) ∈ ℤ))
11. d : ∀n:ℕ. Dec(¬((a n) = (0 n) ∈ ℤ))
⊢ ∃n:ℕ. 0 < a n
BY
{ (InstLemma `mu-dec-property` [⌜Unit⌝;⌜λ2_ n.¬((a n) = (0 n) ∈ ℤ)⌝;⌜λ_.d⌝]⋅ THENA Auto) }

1
1. a : ℕ*
2. ∀c:ℕ*. ((¬¬(∃n:ℕ. (¬((a n) = (c n) ∈ ℤ)))) ∨ (¬¬(∃n:ℕ. (¬(0 = (c n) ∈ ℤ)))))
3. ∀c:ℕ ⟶ ℕ
     ∃i:ℕ
      (((i = 0 ∈ ℤ) ⇒ (¬¬(∃n:ℕ. (¬((a n) = (nat-star-retract(c) n) ∈ ℤ)))))
      ∧ ((¬(i = 0 ∈ ℤ)) ⇒ (¬¬(∃n:ℕ. (¬(0 = (nat-star-retract(c) n) ∈ ℤ))))))
4. F : c:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
5. ∀c:ℕ ⟶ ℕ
     ((((F c) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (¬¬(∃n:ℕ. (¬((a n) = (nat-star-retract(c) n) ∈ ℤ)))))
     ∧ ((¬((F c) = 0 ∈ ℤ)) ⇒ (¬¬(∃n:ℕ. (¬(0 = (nat-star-retract(c) n) ∈ ℤ))))))
6. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
7. (F 0) = 0 ∈ ℤ
8. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((0 = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ (0 = (F g) ∈ ℕ)))
9. ↓∃n:ℕ. (¬(0 = a ∈ (ℕn ⟶ ℕ)))
10. ↓∃k:ℕ. (¬((a k) = (0 k) ∈ ℤ))
11. d : ∀n:ℕ. Dec(¬((a n) = (0 n) ∈ ℤ))
12. ∀a@0:Unit
      ((↓∃k:ℕ. (¬((a k) = (0 k) ∈ ℤ)))
      ⇒ {(¬((a mu-dec(λ_.d;a@0)) = (0 mu-dec(λ_.d;a@0)) ∈ ℤ)) ∧ (∀i:ℕmu-dec(λ_.d;a@0). (¬¬((a i) = (0 i) ∈ ℤ)))})
⊢ ∃n:ℕ. 0 < a n

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}*
2.  \mforall{}c:\mBbbN{}*.  ((\mneg{}\mneg{}(\mexists{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}((a  n)  =  (c  n)))))  \mvee{}  (\mneg{}\mneg{}(\mexists{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}(0  =  (c  n))))))
3.  \mforall{}c:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          \mexists{}i:\mBbbN{}
            (((i  =  0)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\mneg{}(\mexists{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}((a  n)  =  (nat-star-retract(c)  n))))))
            \mwedge{}  ((\mneg{}(i  =  0))  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\mneg{}(\mexists{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}(0  =  (nat-star-retract(c)  n)))))))
4.  F  :  c:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
5.  \mforall{}c:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          ((((F  c)  =  0)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\mneg{}(\mexists{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}((a  n)  =  (nat-star-retract(c)  n))))))
          \mwedge{}  ((\mneg{}((F  c)  =  0))  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\mneg{}(\mexists{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}(0  =  (nat-star-retract(c)  n)))))))
6.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g))))
7.  (F  0)  =  0
8.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((0  =  g)  {}\mRightarrow{}  (0  =  (F  g))))
9.  \mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}(0  =  a))
10.  \mdownarrow{}\mexists{}k:\mBbbN{}.  (\mneg{}((a  k)  =  (0  k)))
11.  d  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  Dec(\mneg{}((a  n)  =  (0  n)))
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  0  <  a  n


By

---

Latex:
(InstLemma  `mu-dec-property`  [\mkleeneopen{}Unit\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}$_{}$  n.\mneg{}((a  n)  =  (0  n))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}$_\mbackslash{}f\000Cf7b}$.d\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index