---

Step * 1 of Lemma count-by-decidable-equiv


1. [A] : Type
2. [E] : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. EquivRel(A;x,y.E[x;y])
4. ∀x,y:A.  Dec(E[x;y])
5. k : ℕ
6. A ~ ℕk
7. L : A List
8. (∀a,b∈L.  ¬E[a;b])
9. ∀a:A. (∃b∈L. E[a;b])
10. ||L|| ≤ k
11. (∀a,b∈L.  ¬E[a;b])
12. ∀a:A. (∃b∈L. E[a;b])
⊢ ∃f:ℕ||L|| ⟶ ℕ. ((∀i:ℕ||L||. {a:A| E[a;L[i]]}  ~ ℕf i) ∧ A ~ i:ℕ||L|| × ℕf i ∧ (k = Σ(f i | i < ||L||) ∈ ℤ))
BY
{ (Assert ∀i:ℕ||L||. ∃n:ℕ. {a:A| E[a;L[i]]}  ~ ℕn BY
         (Auto THEN (InstLemma `equipollent-partition` [⌜k⌝;⌜A⌝;⌜λ2a.E[a;L[i]]⌝]⋅ THENA Auto) THEN ExRepD THEN Auto)) }

1
1. [A] : Type
2. [E] : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. EquivRel(A;x,y.E[x;y])
4. ∀x,y:A.  Dec(E[x;y])
5. k : ℕ
6. A ~ ℕk
7. L : A List
8. (∀a,b∈L.  ¬E[a;b])
9. ∀a:A. (∃b∈L. E[a;b])
10. ||L|| ≤ k
11. (∀a,b∈L.  ¬E[a;b])
12. ∀a:A. (∃b∈L. E[a;b])
13. ∀i:ℕ||L||. ∃n:ℕ. {a:A| E[a;L[i]]}  ~ ℕn
⊢ ∃f:ℕ||L|| ⟶ ℕ. ((∀i:ℕ||L||. {a:A| E[a;L[i]]}  ~ ℕf i) ∧ A ~ i:ℕ||L|| × ℕf i ∧ (k = Σ(f i | i < ||L||) ∈ ℤ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  [E]  :  A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  EquivRel(A;x,y.E[x;y])
4.  \mforall{}x,y:A.    Dec(E[x;y])
5.  k  :  \mBbbN{}
6.  A  \msim{}  \mBbbN{}k
7.  L  :  A  List
8.  (\mforall{}a,b\mmember{}L.    \mneg{}E[a;b])
9.  \mforall{}a:A.  (\mexists{}b\mmember{}L.  E[a;b])
10.  ||L||  \mleq{}  k
11.  (\mforall{}a,b\mmember{}L.    \mneg{}E[a;b])
12.  \mforall{}a:A.  (\mexists{}b\mmember{}L.  E[a;b])
\mvdash{}  \mexists{}f:\mBbbN{}||L||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((\mforall{}i:\mBbbN{}||L||.  \{a:A|  E[a;L[i]]\}    \msim{}  \mBbbN{}f  i)  \mwedge{}  A  \msim{}  i:\mBbbN{}||L||  \mtimes{}  \mBbbN{}f  i  \mwedge{}  (k  =  \mSigma{}(f  i  |  i  <  ||\000CL||)))


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}i:\mBbbN{}||L||.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  \{a:A|  E[a;L[i]]\}    \msim{}  \mBbbN{}n  BY
              (Auto
                THEN  (InstLemma  `equipollent-partition`  [\mkleeneopen{}k\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}a.E[a;L[i]]\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  ExRepD
                THEN  Auto))

---

Home Index