---

Step * 1 2 2 of Lemma equipollent-subtract


1. a : ℕ
2. b : ℕ
3. [P] : ℕa ⟶ ℙ
4. {x:ℕa| P[x]}  ~ ℕb
5. ℕb ~ {x:ℕa| P[x]} 
6. tst : ℕa ⟶ 𝔹
7. ∀x:ℕa. (↓P[x] ⇐⇒ ↑(tst x))
8. ∃i,j:ℕ. ((a = (i + j) ∈ ℤ) ∧ {a:ℕa| ↓P[a]}  ~ ℕi ∧ {a:ℕa| ¬↓P[a]}  ~ ℕj)
⊢ {x:ℕa| ¬P[x]}  ~ ℕa - b
BY
{ xxxExRepDxxx }

1
1. a : ℕ
2. b : ℕ
3. [P] : ℕa ⟶ ℙ
4. {x:ℕa| P[x]}  ~ ℕb
5. ℕb ~ {x:ℕa| P[x]} 
6. tst : ℕa ⟶ 𝔹
7. ∀x:ℕa. (↓P[x] ⇐⇒ ↑(tst x))
8. i : ℕ
9. j : ℕ
10. a = (i + j) ∈ ℤ
11. {a:ℕa| ↓P[a]}  ~ ℕi
12. {a:ℕa| ¬↓P[a]}  ~ ℕj
⊢ {x:ℕa| ¬P[x]}  ~ ℕa - b

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}
2.  b  :  \mBbbN{}
3.  [P]  :  \mBbbN{}a  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  \{x:\mBbbN{}a|  P[x]\}    \msim{}  \mBbbN{}b
5.  \mBbbN{}b  \msim{}  \{x:\mBbbN{}a|  P[x]\} 
6.  tst  :  \mBbbN{}a  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
7.  \mforall{}x:\mBbbN{}a.  (\mdownarrow{}P[x]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \muparrow{}(tst  x))
8.  \mexists{}i,j:\mBbbN{}.  ((a  =  (i  +  j))  \mwedge{}  \{a:\mBbbN{}a|  \mdownarrow{}P[a]\}    \msim{}  \mBbbN{}i  \mwedge{}  \{a:\mBbbN{}a|  \mneg{}\mdownarrow{}P[a]\}    \msim{}  \mBbbN{}j)
\mvdash{}  \{x:\mBbbN{}a|  \mneg{}P[x]\}    \msim{}  \mBbbN{}a  -  b


By

---

Latex:
xxxExRepDxxx

---

Home Index