---

Step * 3 1 1 1 1 1 1 of Lemma fset-ac-glb-is-glb


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. ac1 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
4. ac2 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
5. fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;ac1;ac2);ac2)
6. ac3 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (¬({y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
8. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (¬({y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. x : fset(T)
10. x ∈ ac3
11. {y ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2)) | deq-f-subset(eq) y x} = {} ∈ fset(fset(T))
12. a : fset(T)
13. a ∈ {y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y x}
14. a ∈ ac1
15. a ⊆ x
16. a1 : fset(T)
17. a1 ∈ {y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y x}
18. a1 ∈ ac2
19. a1 ⊆ x
⊢ a ⋃ a1 ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2))
BY
{ (BLemma `member-f-union` THEN Auto THEN D 0 THEN With ⌜a⌝ (D 0)⋅ THEN Auto) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. ac1 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
4. ac2 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
5. fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;ac1;ac2);ac2)
6. ac3 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (¬({y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
8. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (¬({y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. x : fset(T)
10. x ∈ ac3
11. {y ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2)) | deq-f-subset(eq) y x} = {} ∈ fset(fset(T))
12. a : fset(T)
13. a ∈ {y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y x}
14. a ∈ ac1
15. a ⊆ x
16. a1 : fset(T)
17. a1 ∈ {y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y x}
18. a1 ∈ ac2
19. a1 ⊆ x
20. a ∈ ac1
⊢ a ⋃ a1 ∈ λbs.a ⋃ bs"(ac2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  ac1  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
4.  ac2  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
5.  fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;ac1;ac2);ac2)
6.  ac3  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
7.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac3  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  ac1  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}  =  \{\})))
8.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac3  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  ac2  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}  =  \{\})))
9.  x  :  fset(T)
10.  x  \mmember{}  ac3
11.  \{y  \mmember{}  f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(ac2))  |  deq-f-subset(eq)  y  x\}  =  \{\}
12.  a  :  fset(T)
13.  a  \mmember{}  \{y  \mmember{}  ac1  |  deq-f-subset(eq)  y  x\}
14.  a  \mmember{}  ac1
15.  a  \msubseteq{}  x
16.  a1  :  fset(T)
17.  a1  \mmember{}  \{y  \mmember{}  ac2  |  deq-f-subset(eq)  y  x\}
18.  a1  \mmember{}  ac2
19.  a1  \msubseteq{}  x
\mvdash{}  a  \mcup{}  a1  \mmember{}  f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(ac2))


By

---

Latex:
(BLemma  `member-f-union`  THEN  Auto  THEN  D  0  THEN  With  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index