---

Step * 1 1 1 1 of Lemma fset-ac-order-constrained


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. Trans({ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} ;ac1,ac2.fset-ac-le(eq;ac1;ac2))
5. ac1 : fset(fset(T))
6. ↑fset-antichain(eq;ac1)
7. fset-all(ac1;a.P[a])
8. ac2 : fset(fset(T))
9. ↑fset-antichain(eq;ac2)
10. fset-all(ac2;a.P[a])
11. fset-ac-le(eq;ac1;ac2)
12. fset-ac-le(eq;ac2;ac1)
13. a : fset(T)
14. a ∈ ac1
15. ∀a:fset(T). (a ∈ ac1 ⇒ (¬({y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
16. ¬a ∈ ac2
17. a1 : fset(T)
18. a1 ∈ {y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a}
19. a1 ∈ ac2
20. a1 ⊆ a
⊢ False
BY
{ (∀h:hyp. ((FLemma `fset-ac-le-implies` [h] THENA Auto) THEN (FHyp (-1) [-3] THENA Auto)) 
   THEN D -1
   THEN Using [`eq',⌜deq-fset(eq)⌝] (BLemma `fset-extensionality`)⋅
   THEN Auto
   THEN All Reduce
   THEN Auto
   THEN (FLemma `member-fset-filter` [-1] THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN Reduce (-1)
   THEN (RW assert_pushdownC (-1) THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. Trans({ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} ;ac1,ac2.fset-ac-le(eq;ac1;ac2))
5. ac1 : fset(fset(T))
6. ↑fset-antichain(eq;ac1)
7. fset-all(ac1;a.P[a])
8. ac2 : fset(fset(T))
9. ↑fset-antichain(eq;ac2)
10. fset-all(ac2;a.P[a])
11. fset-ac-le(eq;ac1;ac2)
12. fset-ac-le(eq;ac2;ac1)
13. a : fset(T)
14. a ∈ ac1
15. ∀a:fset(T). (a ∈ ac1 ⇒ (¬({y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
16. ¬a ∈ ac2
17. a1 : fset(T)
18. a1 ∈ {y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a}
19. a1 ∈ ac2
20. a1 ⊆ a
21. ∀a:fset(T). (a ∈ ac2 ⇒ (¬({y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
22. a2 : fset(T)
23. a2 ∈ {y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y a1}
24. a2 ∈ ac1
25. a2 ⊆ a1
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  Trans(\{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\}  ;ac1,ac2.fset-ac-le(eq;a\000Cc1;ac2))
5.  ac1  :  fset(fset(T))
6.  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac1)
7.  fset-all(ac1;a.P[a])
8.  ac2  :  fset(fset(T))
9.  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac2)
10.  fset-all(ac2;a.P[a])
11.  fset-ac-le(eq;ac1;ac2)
12.  fset-ac-le(eq;ac2;ac1)
13.  a  :  fset(T)
14.  a  \mmember{}  ac1
15.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac1  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  ac2  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}  =  \{\})))
16.  \mneg{}a  \mmember{}  ac2
17.  a1  :  fset(T)
18.  a1  \mmember{}  \{y  \mmember{}  ac2  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}
19.  a1  \mmember{}  ac2
20.  a1  \msubseteq{}  a
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
(\mforall{}h:hyp.  ((FLemma  `fset-ac-le-implies`  [h]  THENA  Auto)  THEN  (FHyp  (-1)  [-3]  THENA  Auto)) 
  THEN  D  -1
  THEN  Using  [`eq',\mkleeneopen{}deq-fset(eq)\mkleeneclose{}]  (BLemma  `fset-extensionality`)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  All  Reduce
  THEN  Auto
  THEN  (FLemma  `member-fset-filter`  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  Reduce  (-1)
  THEN  (RW  assert\_pushdownC  (-1)  THENA  Auto))

---

Home Index