---

Step * 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma fset-ac-order-constrained

.....assertion..... 
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. Trans({ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} ;ac1,ac2.fset-ac-le(eq;ac1;ac2))
5. ac1 : fset(fset(T))
6. ↑fset-antichain(eq;ac1)
7. fset-all(ac1;a.P[a])
8. ac2 : fset(fset(T))
9. ↑fset-antichain(eq;ac2)
10. fset-all(ac2;a.P[a])
11. fset-ac-le(eq;ac1;ac2)
12. fset-ac-le(eq;ac2;ac1)
13. a : fset(T)
14. a ∈ ac2
15. ∀a:fset(T). (a ∈ ac2 ⇒ (¬({y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
16. ¬a ∈ ac1
17. a1 : fset(T)
18. a1 ∈ {y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y a}
19. a1 ∈ ac1
20. a1 ⊆ a
21. ∀a:fset(T). (a ∈ ac1 ⇒ (¬({y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
22. a2 : fset(T)
23. a2 ∈ {y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a1}
24. a2 ∈ ac2
25. a2 ⊆ a1
26. a2 ⊆ a
⊢ a1 = a ∈ fset(T)
BY
{ (Assert ⌜a2 = a ∈ fset(T)⌝⋅ THEN Auto) }

1
.....assertion..... 
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. Trans({ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} ;ac1,ac2.fset-ac-le(eq;ac1;ac2))
5. ac1 : fset(fset(T))
6. ↑fset-antichain(eq;ac1)
7. fset-all(ac1;a.P[a])
8. ac2 : fset(fset(T))
9. ↑fset-antichain(eq;ac2)
10. fset-all(ac2;a.P[a])
11. fset-ac-le(eq;ac1;ac2)
12. fset-ac-le(eq;ac2;ac1)
13. a : fset(T)
14. a ∈ ac2
15. ∀a:fset(T). (a ∈ ac2 ⇒ (¬({y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
16. ¬a ∈ ac1
17. a1 : fset(T)
18. a1 ∈ {y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y a}
19. a1 ∈ ac1
20. a1 ⊆ a
21. ∀a:fset(T). (a ∈ ac1 ⇒ (¬({y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
22. a2 : fset(T)
23. a2 ∈ {y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a1}
24. a2 ∈ ac2
25. a2 ⊆ a1
26. a2 ⊆ a
⊢ a2 = a ∈ fset(T)

2
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. Trans({ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} ;ac1,ac2.fset-ac-le(eq;ac1;ac2))
5. ac1 : fset(fset(T))
6. ↑fset-antichain(eq;ac1)
7. fset-all(ac1;a.P[a])
8. ac2 : fset(fset(T))
9. ↑fset-antichain(eq;ac2)
10. fset-all(ac2;a.P[a])
11. fset-ac-le(eq;ac1;ac2)
12. fset-ac-le(eq;ac2;ac1)
13. a : fset(T)
14. a ∈ ac2
15. ∀a:fset(T). (a ∈ ac2 ⇒ (¬({y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
16. ¬a ∈ ac1
17. a1 : fset(T)
18. a1 ∈ {y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y a}
19. a1 ∈ ac1
20. a1 ⊆ a
21. ∀a:fset(T). (a ∈ ac1 ⇒ (¬({y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
22. a2 : fset(T)
23. a2 ∈ {y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a1}
24. a2 ∈ ac2
25. a2 ⊆ a1
26. a2 ⊆ a
27. a2 = a ∈ fset(T)
⊢ a1 = a ∈ fset(T)

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  Trans(\{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\}  ;ac1,ac2.fset-ac-le(eq;a\000Cc1;ac2))
5.  ac1  :  fset(fset(T))
6.  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac1)
7.  fset-all(ac1;a.P[a])
8.  ac2  :  fset(fset(T))
9.  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac2)
10.  fset-all(ac2;a.P[a])
11.  fset-ac-le(eq;ac1;ac2)
12.  fset-ac-le(eq;ac2;ac1)
13.  a  :  fset(T)
14.  a  \mmember{}  ac2
15.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac2  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  ac1  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}  =  \{\})))
16.  \mneg{}a  \mmember{}  ac1
17.  a1  :  fset(T)
18.  a1  \mmember{}  \{y  \mmember{}  ac1  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}
19.  a1  \mmember{}  ac1
20.  a1  \msubseteq{}  a
21.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac1  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  ac2  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}  =  \{\})))
22.  a2  :  fset(T)
23.  a2  \mmember{}  \{y  \mmember{}  ac2  |  deq-f-subset(eq)  y  a1\}
24.  a2  \mmember{}  ac2
25.  a2  \msubseteq{}  a1
26.  a2  \msubseteq{}  a
\mvdash{}  a1  =  a


By

---

Latex:
(Assert  \mkleeneopen{}a2  =  a\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index