---

Step * 1 1 2 of Lemma fset-closure-exists


1. [T] : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. r : T ⟶ ℕ
4. fs : (T ⟶ T) List
5. (∀f∈fs.∀x:T. ((¬((f x) = x ∈ T)) ⇒ r (f x) < r x))
6. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
7. n : ℤ
8. [%3] : 0 < n
9. ∀s:fset(T). ((∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ (n - 1)))) ⇒ (∃c:fset(T). (c = fs closure of s)))
10. s : fset(T)
11. ∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ n))
⊢ ∃c:fset(T). (c = fs closure of s)
BY
{ InstHyp [⌜{x ∈ s | r x ≤z n - 1} ⋃ fset-list-union(eq;map(λf.f"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (f x) x))});fs))⌝] (-3)
⋅ }

1
.....wf..... 
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. r : T ⟶ ℕ
4. fs : (T ⟶ T) List
5. (∀f∈fs.∀x:T. ((¬((f x) = x ∈ T)) ⇒ r (f x) < r x))
6. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. ∀s:fset(T). ((∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ (n - 1)))) ⇒ (∃c:fset(T). (c = fs closure of s)))
10. s : fset(T)
11. ∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ n))
⊢ {x ∈ s | r x ≤z n - 1} ⋃ fset-list-union(eq;map(λf.f"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (f x) x))});fs)) ∈ fset(T)

2
.....antecedent..... 
1. [T] : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. r : T ⟶ ℕ
4. fs : (T ⟶ T) List
5. (∀f∈fs.∀x:T. ((¬((f x) = x ∈ T)) ⇒ r (f x) < r x))
6. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
7. n : ℤ
8. [%3] : 0 < n
9. ∀s:fset(T). ((∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ (n - 1)))) ⇒ (∃c:fset(T). (c = fs closure of s)))
10. s : fset(T)
11. ∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ n))
⊢ ∀x:T
    (x ∈ {x ∈ s | r x ≤z n - 1} ⋃ fset-list-union(eq;map(λf.f"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (f x) x))});fs))
    ⇒ ((r x) ≤ (n - 1)))

3
1. [T] : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. r : T ⟶ ℕ
4. fs : (T ⟶ T) List
5. (∀f∈fs.∀x:T. ((¬((f x) = x ∈ T)) ⇒ r (f x) < r x))
6. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
7. n : ℤ
8. [%3] : 0 < n
9. ∀s:fset(T). ((∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ (n - 1)))) ⇒ (∃c:fset(T). (c = fs closure of s)))
10. s : fset(T)
11. ∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ n))
12. ∃c:fset(T)
     (c = fs closure of {x ∈ s | r x ≤z n - 1} ⋃ fset-list-union(eq;map(λf.f"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (f x) x))});
                                                                        fs)))
⊢ ∃c:fset(T). (c = fs closure of s)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  r  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  fs  :  (T  {}\mrightarrow{}  T)  List
5.  (\mforall{}f\mmember{}fs.\mforall{}x:T.  ((\mneg{}((f  x)  =  x))  {}\mRightarrow{}  r  (f  x)  <  r  x))
6.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
7.  n  :  \mBbbZ{}
8.  [\%3]  :  0  <  n
9.  \mforall{}s:fset(T).  ((\mforall{}x:T.  (x  \mmember{}  s  {}\mRightarrow{}  ((r  x)  \mleq{}  (n  -  1))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:fset(T).  (c  =  fs  closure  of  s)))
10.  s  :  fset(T)
11.  \mforall{}x:T.  (x  \mmember{}  s  {}\mRightarrow{}  ((r  x)  \mleq{}  n))
\mvdash{}  \mexists{}c:fset(T).  (c  =  fs  closure  of  s)


By

---

Latex:
InstHyp  [\mkleeneopen{}\{x  \mmember{}  s  |  r  x  \mleq{}z  n  -  1\}  \mcup{}  fset-list-union(eq;map(\mlambda{}f.f"(\{x  \mmember{}  s  |  (r  x  =\msubz{}  n)
                                                                                                                          \mwedge{}\msubb{}  (\mneg{}\msubb{}(eq  (f  x)  x))\});fs))\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}

---

Home Index