---

Step * 1 1 of Lemma exact-xover_wf


1. d : ℕ
2. ∀d:ℕd
     ∀[n:ℤ]. ∀[f:{n...} ⟶ 𝔹].
       exact-xover(f;n) ∈ {x:ℤ| (n ≤ x) ∧ f x = ff ∧ f (x + 1) = tt}  
       supposing (∃m:{n..n + d-}. ((∀k:{n..m-}. f k = ff) ∧ (∀k:{m...}. f k = tt))) ∧ f n = ff
3. n : ℤ
4. f : {n...} ⟶ 𝔹
5. (∃m:{n..n + d-}. ((∀k:{n..m-}. f k = ff) ∧ (∀k:{m...}. f k = tt))) ∧ f n = ff
⊢ let b,a = find-xover(f;n;n;1) 
  in if b=a + 1  then a  else exact-xover(f;a) ∈ {x:ℤ| (n ≤ x) ∧ f x = ff ∧ f (x + 1) = tt} 
BY
{ (GenConclTerm ⌜find-xover(f;n;n;1)⌝⋅ THENA (Auto THEN ParallelOp -2 THEN Auto)) }

1
1. d : ℕ
2. ∀d:ℕd
     ∀[n:ℤ]. ∀[f:{n...} ⟶ 𝔹].
       exact-xover(f;n) ∈ {x:ℤ| (n ≤ x) ∧ f x = ff ∧ f (x + 1) = tt}  
       supposing (∃m:{n..n + d-}. ((∀k:{n..m-}. f k = ff) ∧ (∀k:{m...}. f k = tt))) ∧ f n = ff
3. n : ℤ
4. f : {n...} ⟶ 𝔹
5. (∃m:{n..n + d-}. ((∀k:{n..m-}. f k = ff) ∧ (∀k:{m...}. f k = tt))) ∧ f n = ff
6. v : n':{n':ℤ| (n ≤ n') ∧ f n' = tt}  × {x':ℤ| 
                                ((n' = n ∈ ℤ) ∧ (x' = n ∈ ℤ))
                                ∨ (((n ≤ x') ∧ f x' = ff) ∧ ((n' = (n + 1) ∈ ℤ) ∨ ((n + 1) ≤ x')))} 
7. find-xover(f;n;n;1)
= v
∈ (n':{n':ℤ| (n ≤ n') ∧ f n' = tt}  × {x':ℤ| 
                                  ((n' = n ∈ ℤ) ∧ (x' = n ∈ ℤ))
                                  ∨ (((n ≤ x') ∧ f x' = ff) ∧ ((n' = (n + 1) ∈ ℤ) ∨ ((n + 1) ≤ x')))} )
⊢ let b,a = v 
  in if b=a + 1  then a  else exact-xover(f;a) ∈ {x:ℤ| (n ≤ x) ∧ f x = ff ∧ f (x + 1) = tt} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  d  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}d:\mBbbN{}d
          \mforall{}[n:\mBbbZ{}].  \mforall{}[f:\{n...\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}].
              exact-xover(f;n)  \mmember{}  \{x:\mBbbZ{}|  (n  \mleq{}  x)  \mwedge{}  f  x  =  ff  \mwedge{}  f  (x  +  1)  =  tt\}   
              supposing  (\mexists{}m:\{n..n  +  d\msupminus{}\}.  ((\mforall{}k:\{n..m\msupminus{}\}.  f  k  =  ff)  \mwedge{}  (\mforall{}k:\{m...\}.  f  k  =  tt)))  \mwedge{}  f  n  =  ff
3.  n  :  \mBbbZ{}
4.  f  :  \{n...\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  (\mexists{}m:\{n..n  +  d\msupminus{}\}.  ((\mforall{}k:\{n..m\msupminus{}\}.  f  k  =  ff)  \mwedge{}  (\mforall{}k:\{m...\}.  f  k  =  tt)))  \mwedge{}  f  n  =  ff
\mvdash{}  let  b,a  =  find-xover(f;n;n;1) 
    in  if  b=a  +  1    then  a    else  exact-xover(f;a)  \mmember{}  \{x:\mBbbZ{}|  (n  \mleq{}  x)  \mwedge{}  f  x  =  ff  \mwedge{}  f  (x  +  1)  =  tt\} 


By

---

Latex:
(GenConclTerm  \mkleeneopen{}find-xover(f;n;n;1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  (Auto  THEN  ParallelOp  -2  THEN  Auto))

---

Home Index