---

Step * 1 1 1 of Lemma mu-ge-bound-property


1. ∀[n,m:ℤ]. ∀[f:{n..m-} ⟶ 𝔹].  mu-ge(f;n) ∈ {n..m-} supposing ∃k:{n..m-}. (↑(f k))
⊢ ∀d:ℕ. ∀n,m:ℤ.
    (((m - n) ≤ d)
    ⇒ (∀f:{n..m-} ⟶ 𝔹. ((∃m:{n..m-}. (↑(f m))) ⇒ {(↑(f mu-ge(f;n))) ∧ (∀[i:{n..mu-ge(f;n)-}]. (¬↑(f i)))})))
BY
{ TACTIC:InductionOnNat }

1
.....basecase..... 
1. ∀[n,m:ℤ]. ∀[f:{n..m-} ⟶ 𝔹].  mu-ge(f;n) ∈ {n..m-} supposing ∃k:{n..m-}. (↑(f k))
2. d : ℤ
⊢ ∀n,m:ℤ.
    (((m - n) ≤ 0)
    ⇒ (∀f:{n..m-} ⟶ 𝔹. ((∃m:{n..m-}. (↑(f m))) ⇒ {(↑(f mu-ge(f;n))) ∧ (∀[i:{n..mu-ge(f;n)-}]. (¬↑(f i)))})))

2
.....upcase..... 
1. ∀[n,m:ℤ]. ∀[f:{n..m-} ⟶ 𝔹].  mu-ge(f;n) ∈ {n..m-} supposing ∃k:{n..m-}. (↑(f k))
2. d : ℤ
3. 0 < d
4. ∀n,m:ℤ.
     (((m - n) ≤ (d - 1))
     ⇒ (∀f:{n..m-} ⟶ 𝔹. ((∃m:{n..m-}. (↑(f m))) ⇒ {(↑(f mu-ge(f;n))) ∧ (∀[i:{n..mu-ge(f;n)-}]. (¬↑(f i)))})))
⊢ ∀n,m:ℤ.
    (((m - n) ≤ d)
    ⇒ (∀f:{n..m-} ⟶ 𝔹. ((∃m:{n..m-}. (↑(f m))) ⇒ {(↑(f mu-ge(f;n))) ∧ (∀[i:{n..mu-ge(f;n)-}]. (¬↑(f i)))})))

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}[n,m:\mBbbZ{}].  \mforall{}[f:\{n..m\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}].    mu-ge(f;n)  \mmember{}  \{n..m\msupminus{}\}  supposing  \mexists{}k:\{n..m\msupminus{}\}.  (\muparrow{}(f  k))
\mvdash{}  \mforall{}d:\mBbbN{}.  \mforall{}n,m:\mBbbZ{}.
        (((m  -  n)  \mleq{}  d)
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\{n..m\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
                    ((\mexists{}m:\{n..m\msupminus{}\}.  (\muparrow{}(f  m)))  {}\mRightarrow{}  \{(\muparrow{}(f  mu-ge(f;n)))  \mwedge{}  (\mforall{}[i:\{n..mu-ge(f;n)\msupminus{}\}].  (\mneg{}\muparrow{}(f  i)))\})))


By

---

Latex:
TACTIC:InductionOnNat

---

Home Index