---

Step * 1 2 1 of Lemma list_match-aux-cons


1. [A] : Type
2. [B] : Type
3. [R] : A ⟶ B ⟶ ℙ
4. ∀a:A. ∀b:B.  SqStable(R[a;b])
5. bs : B List
6. u : A
7. v : A List
8. used : ℤ List
9. ∀j:ℤ. (j ∈b used ∈ 𝔹)
10. j : ℕ||bs||
11. ¬↑j ∈b used
12. R[u;bs[j]]
13. f : ℕ||v|| ⟶ ℕ||bs||
14. Inj(ℕ||v||;ℕ||bs||;f)
15. ∀i:ℕ||v||. ((¬(f i ∈ [j / used])) ∧ R[v[i];bs[f i]])
⊢ ∃f:ℕ||[u / v]|| ⟶ ℕ||bs|| [(Inj(ℕ||[u / v]||;ℕ||bs||;f)
                             ∧ (∀i:ℕ||[u / v]||. ((¬(f i ∈ used)) ∧ R[[u / v][i];bs[f i]])))]
BY
{ (D 0 With ⌜λi.if (i =z 0) then j else f (i - 1) fi ⌝  THEN Reduce 0 THEN Auto) }

1
1. A : Type
2. B : Type
3. R : A ⟶ B ⟶ ℙ
4. ∀a:A. ∀b:B.  SqStable(R[a;b])
5. bs : B List
6. u : A
7. v : A List
8. used : ℤ List
9. ∀j:ℤ. (j ∈b used ∈ 𝔹)
10. j : ℕ||bs||
11. ¬↑j ∈b used
12. R[u;bs[j]]
13. f : ℕ||v|| ⟶ ℕ||bs||
14. Inj(ℕ||v||;ℕ||bs||;f)
15. ∀i:ℕ||v||. ((¬(f i ∈ [j / used])) ∧ R[v[i];bs[f i]])
⊢ Inj(ℕ||v|| + 1;ℕ||bs||;λi.if (i =z 0) then j else f (i - 1) fi )

2
1. A : Type
2. B : Type
3. R : A ⟶ B ⟶ ℙ
4. ∀a:A. ∀b:B.  SqStable(R[a;b])
5. bs : B List
6. u : A
7. v : A List
8. used : ℤ List
9. ∀j:ℤ. (j ∈b used ∈ 𝔹)
10. j : ℕ||bs||
11. ¬↑j ∈b used
12. R[u;bs[j]]
13. f : ℕ||v|| ⟶ ℕ||bs||
14. Inj(ℕ||v||;ℕ||bs||;f)
15. ∀i:ℕ||v||. ((¬(f i ∈ [j / used])) ∧ R[v[i];bs[f i]])
16. Inj(ℕ||v|| + 1;ℕ||bs||;λi.if (i =z 0) then j else f (i - 1) fi )
17. i : ℕ||v|| + 1
⊢ ¬(if (i =z 0) then j else f (i - 1) fi  ∈ used)

3
1. A : Type
2. B : Type
3. R : A ⟶ B ⟶ ℙ
4. ∀a:A. ∀b:B.  SqStable(R[a;b])
5. bs : B List
6. u : A
7. v : A List
8. used : ℤ List
9. ∀j:ℤ. (j ∈b used ∈ 𝔹)
10. j : ℕ||bs||
11. ¬↑j ∈b used
12. R[u;bs[j]]
13. f : ℕ||v|| ⟶ ℕ||bs||
14. Inj(ℕ||v||;ℕ||bs||;f)
15. ∀i:ℕ||v||. ((¬(f i ∈ [j / used])) ∧ R[v[i];bs[f i]])
16. Inj(ℕ||v|| + 1;ℕ||bs||;λi.if (i =z 0) then j else f (i - 1) fi )
17. i : ℕ||v|| + 1
18. ¬(if (i =z 0) then j else f (i - 1) fi  ∈ used)
⊢ R[[u / v][i];bs[if (i =z 0) then j else f (i - 1) fi ]]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  [B]  :  Type
3.  [R]  :  A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  \mforall{}a:A.  \mforall{}b:B.    SqStable(R[a;b])
5.  bs  :  B  List
6.  u  :  A
7.  v  :  A  List
8.  used  :  \mBbbZ{}  List
9.  \mforall{}j:\mBbbZ{}.  (j  \mmember{}\msubb{}  used  \mmember{}  \mBbbB{})
10.  j  :  \mBbbN{}||bs||
11.  \mneg{}\muparrow{}j  \mmember{}\msubb{}  used
12.  R[u;bs[j]]
13.  f  :  \mBbbN{}||v||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||bs||
14.  Inj(\mBbbN{}||v||;\mBbbN{}||bs||;f)
15.  \mforall{}i:\mBbbN{}||v||.  ((\mneg{}(f  i  \mmember{}  [j  /  used]))  \mwedge{}  R[v[i];bs[f  i]])
\mvdash{}  \mexists{}f:\mBbbN{}||[u  /  v]||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||bs||  [(Inj(\mBbbN{}||[u  /  v]||;\mBbbN{}||bs||;f)
                                                          \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||[u  /  v]||.  ((\mneg{}(f  i  \mmember{}  used))  \mwedge{}  R[[u  /  v][i];bs[f  i]])))]


By

---

Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  0)  then  j  else  f  (i  -  1)  fi  \mkleeneclose{}    THEN  Reduce  0  THEN  Auto)

---

Home Index