---

Step * 1 2 1 of Lemma orbit-cover

.....assertion..... 
1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. n : ℕ
4. f1 : ℕn ⟶ T
5. Surj(ℕn;T;f1)
6. f : T ⟶ T
7. orbit : a:T ⟶ (T List)
8. ∀a:T
     (no_repeats(T;orbit a)
     ∧ (∀i:ℕ||orbit a||. (orbit a[i] = (f^i a) ∈ T))
     ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit a) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n a) ∈ T))))
9. orbits : T List List
10. (∀orbit∈orbits.0 < ||orbit||
           ∧ no_repeats(T;orbit)
           ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
           ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T))))
11. ∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit))
⊢ (∀o1∈orbits.(∀o2∈orbits.(o1[0] ∈ o2) ⇒ o1 ⊆ o2))
BY
{ (Thin (-1)
   THEN RepeatFor 2 (ParallelLast)
   THEN RenameVar `a' (-2)
   THEN ParallelOp -3
   THEN RenameVar `b' (-2)
   THEN Auto)⋅ }

1
1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. n : ℕ
4. f1 : ℕn ⟶ T
5. Surj(ℕn;T;f1)
6. f : T ⟶ T
7. orbit : a:T ⟶ (T List)
8. ∀a:T
     (no_repeats(T;orbit a)
     ∧ (∀i:ℕ||orbit a||. (orbit a[i] = (f^i a) ∈ T))
     ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit a) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n a) ∈ T))))
9. orbits : T List List
10. ∀i@0:ℕ||orbits||
      (0 < ||orbits[i@0]||
      ∧ no_repeats(T;orbits[i@0])
      ∧ (∀i:ℕ||orbits[i@0]||. (orbits[i@0][i] = (f^i orbits[i@0][0]) ∈ T))
      ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbits[i@0]) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbits[i@0][0]) ∈ T))))
11. a : ℕ||orbits||
12. 0 < ||orbits[a]||
13. no_repeats(T;orbits[a])
14. ∀i:ℕ||orbits[a]||. (orbits[a][i] = (f^i orbits[a][0]) ∈ T)
15. ∀b:T. ((b ∈ orbits[a]) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbits[a][0]) ∈ T))
16. b : ℕ||orbits||
17. 0 < ||orbits[b]||
18. no_repeats(T;orbits[b])
19. ∀i@0:ℕ||orbits[b]||. (orbits[b][i@0] = (f^i@0 orbits[b][0]) ∈ T)
20. ∀b@0:T. ((b@0 ∈ orbits[b]) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b@0 = (f^n orbits[b][0]) ∈ T))
21. (orbits[a][0] ∈ orbits[b])
⊢ orbits[a] ⊆ orbits[b]

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [T]  :  Type
2.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  f1  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T
5.  Surj(\mBbbN{}n;T;f1)
6.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
7.  orbit  :  a:T  {}\mrightarrow{}  (T  List)
8.  \mforall{}a:T
          (no\_repeats(T;orbit  a)
          \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbit  a||.  (orbit  a[i]  =  (f\^{}i  a)))
          \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbit  a)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  a)))))
9.  orbits  :  T  List  List
10.  (\mforall{}orbit\mmember{}orbits.0  <  ||orbit||
                      \mwedge{}  no\_repeats(T;orbit)
                      \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbit||.  (orbit[i]  =  (f\^{}i  orbit[0])))
                      \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbit)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  orbit[0])))))
11.  \mforall{}a:T.  (\mexists{}orbit\mmember{}orbits.  (a  \mmember{}  orbit))
\mvdash{}  (\mforall{}o1\mmember{}orbits.(\mforall{}o2\mmember{}orbits.(o1[0]  \mmember{}  o2)  {}\mRightarrow{}  o1  \msubseteq{}  o2))


By

---

Latex:
(Thin  (-1)
  THEN  RepeatFor  2  (ParallelLast)
  THEN  RenameVar  `a'  (-2)
  THEN  ParallelOp  -3
  THEN  RenameVar  `b'  (-2)
  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index