---

Step * 1 2 2 1 of Lemma orbit-cover


1. T : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. n : ℕ
4. f1 : ℕn ⟶ T
5. Surj(ℕn;T;f1)
6. f : T ⟶ T
7. orbit : a:T ⟶ (T List)
8. ∀a:T
     (no_repeats(T;orbit a)
     ∧ (∀i:ℕ||orbit a||. (orbit a[i] = (f^i a) ∈ T))
     ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit a) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n a) ∈ T))))
9. orbits : T List List
10. (∀orbit∈orbits.0 < ||orbit||
           ∧ no_repeats(T;orbit)
           ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
           ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T))))
11. ∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit))
12. (∀o1∈orbits.(∀o2∈orbits.(o1[0] ∈ o2) ⇒ o1 ⊆ o2))
13. o1 : T List List
14. x : (∀orbit∈o1.0 < ||orbit||
               ∧ no_repeats(T;orbit)
               ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
               ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T))))
15. x1 : ∀a:T. (∃orbit∈o1. (a ∈ orbit))
16. ∀x:T List. ((x ∈ o1) ∈ Type)
17. o1@0 : T List
18. (o1@0 ∈ o1)
19. ∀x:T List. ((x ∈ o1) ∈ Type)
20. o2 : T List
21. (o2 ∈ o1)
⊢ 0 < ||o1@0||
BY
{ (RepeatFor 2 (D (-4)) THEN OnMaybeHyp 14 (\h. (With ⌜i⌝ (D h)⋅ THEN Complete (Auto)))) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  f1  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T
5.  Surj(\mBbbN{}n;T;f1)
6.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
7.  orbit  :  a:T  {}\mrightarrow{}  (T  List)
8.  \mforall{}a:T
          (no\_repeats(T;orbit  a)
          \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbit  a||.  (orbit  a[i]  =  (f\^{}i  a)))
          \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbit  a)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  a)))))
9.  orbits  :  T  List  List
10.  (\mforall{}orbit\mmember{}orbits.0  <  ||orbit||
                      \mwedge{}  no\_repeats(T;orbit)
                      \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbit||.  (orbit[i]  =  (f\^{}i  orbit[0])))
                      \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbit)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  orbit[0])))))
11.  \mforall{}a:T.  (\mexists{}orbit\mmember{}orbits.  (a  \mmember{}  orbit))
12.  (\mforall{}o1\mmember{}orbits.(\mforall{}o2\mmember{}orbits.(o1[0]  \mmember{}  o2)  {}\mRightarrow{}  o1  \msubseteq{}  o2))
13.  o1  :  T  List  List
14.  x  :  (\mforall{}orbit\mmember{}o1.0  <  ||orbit||
                              \mwedge{}  no\_repeats(T;orbit)
                              \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbit||.  (orbit[i]  =  (f\^{}i  orbit[0])))
                              \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbit)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  orbit[0])))))
15.  x1  :  \mforall{}a:T.  (\mexists{}orbit\mmember{}o1.  (a  \mmember{}  orbit))
16.  \mforall{}x:T  List.  ((x  \mmember{}  o1)  \mmember{}  Type)
17.  o1@0  :  T  List
18.  (o1@0  \mmember{}  o1)
19.  \mforall{}x:T  List.  ((x  \mmember{}  o1)  \mmember{}  Type)
20.  o2  :  T  List
21.  (o2  \mmember{}  o1)
\mvdash{}  0  <  ||o1@0||


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (D  (-4))  THEN  OnMaybeHyp  14  (\mbackslash{}h.  (With  \mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}  (D  h)\mcdot{}  THEN  Complete  (Auto))))

---

Home Index