---

Step * 1 2 1 3 2 of Lemma orbit-exists


1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. finite-type(T)
4. f : T ⟶ T
5. a : T
6. k : ℕ
7. i : ℕk
8. (f^k a) = (f^i a) ∈ T
9. ∀i:ℕk. (¬(∃i@0:ℕi. ((f^i a) = (f^i@0 a) ∈ T)))
10. no_repeats(T;map(λn.(f^n a);upto(k)))
11. ∀i:ℕ||map(λn.(f^n a);upto(k))||. (map(λn.(f^n a);upto(k))[i] = (f^i a) ∈ T)
12. b : T
13. n : ℕ
14. b = (f^n a) ∈ T
15. ¬n < k
⊢ ∃y:ℕ. ((y ∈ upto(k)) ∧ (b = (f^y a) ∈ T))
BY
{ (((Subst' k = ((k - i) + i) ∈ ℤ 8 THENM RWO "fun_exp_add_sq" 8) THENA Auto')
   THEN ((Subst' n = ((n - i) + i) ∈ ℤ (-2) THENM RWO "fun_exp_add_sq" (-2)) THENA Auto')
   THEN (InstLemma `fun_exp-rem` [⌜T⌝;⌜f⌝;⌜f^i a⌝;⌜k - i⌝;⌜n - i⌝]⋅ THENA Auto')) }

1
1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. finite-type(T)
4. f : T ⟶ T
5. a : T
6. k : ℕ
7. i : ℕk
8. (f^k - i (f^i a)) = (f^i a) ∈ T
9. ∀i:ℕk. (¬(∃i@0:ℕi. ((f^i a) = (f^i@0 a) ∈ T)))
10. no_repeats(T;map(λn.(f^n a);upto(k)))
11. ∀i:ℕ||map(λn.(f^n a);upto(k))||. (map(λn.(f^n a);upto(k))[i] = (f^i a) ∈ T)
12. b : T
13. n : ℕ
14. b = (f^n - i (f^i a)) ∈ T
15. ¬n < k
16. (f^n - i (f^i a)) = (f^n - i rem k - i (f^i a)) ∈ T
⊢ ∃y:ℕ. ((y ∈ upto(k)) ∧ (b = (f^y a) ∈ T))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
3.  finite-type(T)
4.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
5.  a  :  T
6.  k  :  \mBbbN{}
7.  i  :  \mBbbN{}k
8.  (f\^{}k  a)  =  (f\^{}i  a)
9.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\mneg{}(\mexists{}i@0:\mBbbN{}i.  ((f\^{}i  a)  =  (f\^{}i@0  a))))
10.  no\_repeats(T;map(\mlambda{}n.(f\^{}n  a);upto(k)))
11.  \mforall{}i:\mBbbN{}||map(\mlambda{}n.(f\^{}n  a);upto(k))||.  (map(\mlambda{}n.(f\^{}n  a);upto(k))[i]  =  (f\^{}i  a))
12.  b  :  T
13.  n  :  \mBbbN{}
14.  b  =  (f\^{}n  a)
15.  \mneg{}n  <  k
\mvdash{}  \mexists{}y:\mBbbN{}.  ((y  \mmember{}  upto(k))  \mwedge{}  (b  =  (f\^{}y  a)))


By

---

Latex:
(((Subst'  k  =  ((k  -  i)  +  i)  8  THENM  RWO  "fun\_exp\_add\_sq"  8)  THENA  Auto')
  THEN  ((Subst'  n  =  ((n  -  i)  +  i)  (-2)  THENM  RWO  "fun\_exp\_add\_sq"  (-2))  THENA  Auto')
  THEN  (InstLemma  `fun\_exp-rem`  [\mkleeneopen{}T\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\^{}i  a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}k  -  i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n  -  i\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto'))

---

Home Index