---

Step * 1 of Lemma exp-ratio_wf

.....assertion..... 
1. a : ℕ
2. b : {a + 1...}
3. k : ℕ
4. c : {n:ℕ| k * a^n < b^n} 
5. n : ℕ
6. n ≤ c
⊢ ∀d:ℕ. ((d ≤ c) ⇒ (exp-ratio(a;b;c - d;k * a^(c - d);b^(c - d)) ∈ {n:ℕ| k * a^n < b^n} ))
BY
{ (InductionOnNat THEN (D 0 THENA Auto) THEN RecUnfold `exp-ratio` 0 THEN (SplitOnConclITE THENA Auto))⋅ }

1
.....truecase..... 
1. a : ℕ
2. b : {a + 1...}
3. k : ℕ
4. c : {n:ℕ| k * a^n < b^n} 
5. n : ℕ
6. n ≤ c
7. d : ℤ
8. 0 ≤ c
9. k * a^(c - 0) < b^(c - 0)
⊢ c - 0 ∈ {n:ℕ| k * a^n < b^n} 

2
.....falsecase..... 
1. a : ℕ
2. b : {a + 1...}
3. k : ℕ
4. c : {n:ℕ| k * a^n < b^n} 
5. n : ℕ
6. n ≤ c
7. d : ℤ
8. 0 ≤ c
9. b^(c - 0) ≤ (k * a^(c - 0))
⊢ eval n' = (c - 0) + 1 in
  eval p' = a * k * a^(c - 0) in
  eval q' = b * b^(c - 0) in
    exp-ratio(a;b;n';p';q') ∈ {n:ℕ| k * a^n < b^n} 

3
.....truecase..... 
1. a : ℕ
2. b : {a + 1...}
3. k : ℕ
4. c : {n:ℕ| k * a^n < b^n} 
5. n : ℕ
6. n ≤ c
7. d : ℤ
8. 0 < d
9. ((d - 1) ≤ c) ⇒ (exp-ratio(a;b;c - d - 1;k * a^(c - d - 1);b^(c - d - 1)) ∈ {n:ℕ| k * a^n < b^n} )
10. d ≤ c
11. k * a^(c - d) < b^(c - d)
⊢ c - d ∈ {n:ℕ| k * a^n < b^n} 

4
.....falsecase..... 
1. a : ℕ
2. b : {a + 1...}
3. k : ℕ
4. c : {n:ℕ| k * a^n < b^n} 
5. n : ℕ
6. n ≤ c
7. d : ℤ
8. 0 < d
9. ((d - 1) ≤ c) ⇒ (exp-ratio(a;b;c - d - 1;k * a^(c - d - 1);b^(c - d - 1)) ∈ {n:ℕ| k * a^n < b^n} )
10. d ≤ c
11. b^(c - d) ≤ (k * a^(c - d))
⊢ eval n' = (c - d) + 1 in
  eval p' = a * k * a^(c - d) in
  eval q' = b * b^(c - d) in
    exp-ratio(a;b;n';p';q') ∈ {n:ℕ| k * a^n < b^n} 

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  a  :  \mBbbN{}
2.  b  :  \{a  +  1...\}
3.  k  :  \mBbbN{}
4.  c  :  \{n:\mBbbN{}|  k  *  a\^{}n  <  b\^{}n\} 
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  n  \mleq{}  c
\mvdash{}  \mforall{}d:\mBbbN{}.  ((d  \mleq{}  c)  {}\mRightarrow{}  (exp-ratio(a;b;c  -  d;k  *  a\^{}(c  -  d);b\^{}(c  -  d))  \mmember{}  \{n:\mBbbN{}|  k  *  a\^{}n  <  b\^{}n\}  ))


By

---

Latex:
(InductionOnNat
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  RecUnfold  `exp-ratio`  0
  THEN  (SplitOnConclITE  THENA  Auto))\mcdot{}

---

Home Index