---

Step * of Lemma pair_support_double_sum

∀[n,m:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ ℕm ⟶ ℤ]. ∀[x1,x2:ℕn]. ∀[y1,y2:ℕm].
  (sum(f[x;y] | x < n; y < m) = (f[x1;y1] + f[x2;y2]) ∈ ℤ) supposing 
     ((∀x:ℕn. ∀y:ℕm.  ((¬((x = x1 ∈ ℤ) ∧ (y = y1 ∈ ℤ))) ⇒ (¬((x = x2 ∈ ℤ) ∧ (y = y2 ∈ ℤ))) ⇒ (f[x;y] = 0 ∈ ℤ))) and 
     ((¬(x1 = x2 ∈ ℤ)) ∨ (¬(y1 = y2 ∈ ℤ))))
BY
{ (((Auto THEN Unfold `double_sum` 0) THEN Decide x1 = x2 ∈ ℤ) THENA Auto) }

1
1. n : ℕ
2. m : ℕ
3. f : ℕn ⟶ ℕm ⟶ ℤ
4. x1 : ℕn
5. x2 : ℕn
6. y1 : ℕm
7. y2 : ℕm
8. (¬(x1 = x2 ∈ ℤ)) ∨ (¬(y1 = y2 ∈ ℤ))
9. ∀x:ℕn. ∀y:ℕm.  ((¬((x = x1 ∈ ℤ) ∧ (y = y1 ∈ ℤ))) ⇒ (¬((x = x2 ∈ ℤ) ∧ (y = y2 ∈ ℤ))) ⇒ (f[x;y] = 0 ∈ ℤ))
10. x1 = x2 ∈ ℤ
⊢ Σ(Σ(f[x;y] | y < m) | x < n) = (f[x1;y1] + f[x2;y2]) ∈ ℤ

2
1. n : ℕ
2. m : ℕ
3. f : ℕn ⟶ ℕm ⟶ ℤ
4. x1 : ℕn
5. x2 : ℕn
6. y1 : ℕm
7. y2 : ℕm
8. (¬(x1 = x2 ∈ ℤ)) ∨ (¬(y1 = y2 ∈ ℤ))
9. ∀x:ℕn. ∀y:ℕm.  ((¬((x = x1 ∈ ℤ) ∧ (y = y1 ∈ ℤ))) ⇒ (¬((x = x2 ∈ ℤ) ∧ (y = y2 ∈ ℤ))) ⇒ (f[x;y] = 0 ∈ ℤ))
10. ¬(x1 = x2 ∈ ℤ)
⊢ Σ(Σ(f[x;y] | y < m) | x < n) = (f[x1;y1] + f[x2;y2]) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[n,m:\mBbbN{}].  \mforall{}[f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].  \mforall{}[x1,x2:\mBbbN{}n].  \mforall{}[y1,y2:\mBbbN{}m].
    (sum(f[x;y]  |  x  <  n;  y  <  m)  =  (f[x1;y1]  +  f[x2;y2]))  supposing 
          ((\mforall{}x:\mBbbN{}n.  \mforall{}y:\mBbbN{}m.    ((\mneg{}((x  =  x1)  \mwedge{}  (y  =  y1)))  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}((x  =  x2)  \mwedge{}  (y  =  y2)))  {}\mRightarrow{}  (f[x;y]  =  0)))  and 
          ((\mneg{}(x1  =  x2))  \mvee{}  (\mneg{}(y1  =  y2))))


By

---

Latex:
(((Auto  THEN  Unfold  `double\_sum`  0)  THEN  Decide  x1  =  x2)  THENA  Auto)

---

Home Index