---

Step * 2 1 2 1 1 of Lemma search_succ

.....wf..... 
1. k : ℕ
2. P : ℕk + 1 ⟶ 𝔹
3. ¬↑(P 0)
4. (∃i:ℕk. (↑(P (i + 1)))) ⇐ 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
5. (↑(P ((search(k;λi.(P (i + 1))) - 1) + 1))) ∧ (∀j:ℕk. ¬↑(P (j + 1)) supposing j < search(k;λi.(P (i + 1))) - 1) 
   supposing 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
6. search(k;λi.(P (i + 1))) ≤ 0
7. ¬(search(k + 1;P) = 0 ∈ ℤ)
8. i : ℕk + 1
9. ↑(P i)
10. 0 < search(k + 1;P)
11. ↑(P (search(k + 1;P) - 1))
12. ∀j:ℕk + 1. ¬↑(P j) supposing j < search(k + 1;P) - 1
⊢ i - 1 ∈ ℕk
BY
{ (Decide i = 0 ∈ ℤ THENA Auto) }

1
1. k : ℕ
2. P : ℕk + 1 ⟶ 𝔹
3. ¬↑(P 0)
4. (∃i:ℕk. (↑(P (i + 1)))) ⇐ 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
5. (↑(P ((search(k;λi.(P (i + 1))) - 1) + 1))) ∧ (∀j:ℕk. ¬↑(P (j + 1)) supposing j < search(k;λi.(P (i + 1))) - 1) 
   supposing 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
6. search(k;λi.(P (i + 1))) ≤ 0
7. ¬(search(k + 1;P) = 0 ∈ ℤ)
8. i : ℕk + 1
9. ↑(P i)
10. 0 < search(k + 1;P)
11. ↑(P (search(k + 1;P) - 1))
12. ∀j:ℕk + 1. ¬↑(P j) supposing j < search(k + 1;P) - 1
13. i = 0 ∈ ℤ
⊢ i - 1 ∈ ℕk

2
1. k : ℕ
2. P : ℕk + 1 ⟶ 𝔹
3. ¬↑(P 0)
4. (∃i:ℕk. (↑(P (i + 1)))) ⇐ 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
5. (↑(P ((search(k;λi.(P (i + 1))) - 1) + 1))) ∧ (∀j:ℕk. ¬↑(P (j + 1)) supposing j < search(k;λi.(P (i + 1))) - 1) 
   supposing 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
6. search(k;λi.(P (i + 1))) ≤ 0
7. ¬(search(k + 1;P) = 0 ∈ ℤ)
8. i : ℕk + 1
9. ↑(P i)
10. 0 < search(k + 1;P)
11. ↑(P (search(k + 1;P) - 1))
12. ∀j:ℕk + 1. ¬↑(P j) supposing j < search(k + 1;P) - 1
13. ¬(i = 0 ∈ ℤ)
⊢ i - 1 ∈ ℕk

---

Latex:

---

Latex:
.....wf..... 
1.  k  :  \mBbbN{}
2.  P  :  \mBbbN{}k  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
3.  \mneg{}\muparrow{}(P  0)
4.  (\mexists{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}(P  (i  +  1))))  \mLeftarrow{}{}  0  <  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))
5.  (\muparrow{}(P  ((search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  -  1)  +  1)))
      \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}k.  \mneg{}\muparrow{}(P  (j  +  1))  supposing  j  <  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  -  1) 
      supposing  0  <  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))
6.  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  \mleq{}  0
7.  \mneg{}(search(k  +  1;P)  =  0)
8.  i  :  \mBbbN{}k  +  1
9.  \muparrow{}(P  i)
10.  0  <  search(k  +  1;P)
11.  \muparrow{}(P  (search(k  +  1;P)  -  1))
12.  \mforall{}j:\mBbbN{}k  +  1.  \mneg{}\muparrow{}(P  j)  supposing  j  <  search(k  +  1;P)  -  1
\mvdash{}  i  -  1  \mmember{}  \mBbbN{}k


By

---

Latex:
(Decide  i  =  0  THENA  Auto)

---

Home Index