---

Step * 2 of Lemma sum-of-three-cubes-iff-1


1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c : ℤ
5. 0 ≤ (a + b)
6. (((a * a * a) + (b * b * b)) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ
⇐⇒ (((a + b) = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
    ∨ ((¬((a + b) = 0 ∈ ℤ))
      ∧ ((k - c * c * c rem a + b) = 0 ∈ ℤ)
      ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ a + b) ∈ ℤ))
⊢ (((a * a * a) + (b * b * b)) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ
⇐⇒ ∃d:ℕ
     (((a + b) = d ∈ ℤ)
     ∧ (((d = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
       ∨ ((¬(d = 0 ∈ ℤ))
         ∧ ((k - c * c * c rem d) = 0 ∈ ℤ)
         ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ d) ∈ ℤ))))
BY
{ ParallelLast }

1
1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c : ℤ
5. 0 ≤ (a + b)
6. (((a * a * a) + (b * b * b)) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ
7. (((a + b) = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
∨ ((¬((a + b) = 0 ∈ ℤ))
  ∧ ((k - c * c * c rem a + b) = 0 ∈ ℤ)
  ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ a + b) ∈ ℤ))
⊢ ∃d:ℕ
   (((a + b) = d ∈ ℤ)
   ∧ (((d = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
     ∨ ((¬(d = 0 ∈ ℤ))
       ∧ ((k - c * c * c rem d) = 0 ∈ ℤ)
       ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ d) ∈ ℤ))))

2
.....antecedent..... 
1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c : ℤ
5. 0 ≤ (a + b)
6. ∃d:ℕ
    (((a + b) = d ∈ ℤ)
    ∧ (((d = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
      ∨ ((¬(d = 0 ∈ ℤ))
        ∧ ((k - c * c * c rem d) = 0 ∈ ℤ)
        ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ d) ∈ ℤ))))
⊢ (((a + b) = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
∨ ((¬((a + b) = 0 ∈ ℤ))
  ∧ ((k - c * c * c rem a + b) = 0 ∈ ℤ)
  ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ a + b) ∈ ℤ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbZ{}
3.  b  :  \mBbbZ{}
4.  c  :  \mBbbZ{}
5.  0  \mleq{}  (a  +  b)
6.  (((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b))  +  (c  *  c  *  c))  =  k
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (((a  +  b)  =  0)  \mwedge{}  ((c  *  c  *  c)  =  k))
        \mvee{}  ((\mneg{}((a  +  b)  =  0))
            \mwedge{}  ((k  -  c  *  c  *  c  rem  a  +  b)  =  0)
            \mwedge{}  (((a  *  a)  +  ((b  *  b)  -  a  *  b))  =  ((k  -  c  *  c  *  c)  \mdiv{}  a  +  b)))
\mvdash{}  (((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b))  +  (c  *  c  *  c))  =  k
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}d:\mBbbN{}
          (((a  +  b)  =  d)
          \mwedge{}  (((d  =  0)  \mwedge{}  ((c  *  c  *  c)  =  k))
              \mvee{}  ((\mneg{}(d  =  0))
                  \mwedge{}  ((k  -  c  *  c  *  c  rem  d)  =  0)
                  \mwedge{}  (((a  *  a)  +  ((b  *  b)  -  a  *  b))  =  ((k  -  c  *  c  *  c)  \mdiv{}  d)))))


By

---

Latex:
ParallelLast

---

Home Index