---

Step * of Lemma sum-of-three-cubes-iff-1

∀k:ℕ. ∀a,b,c:ℤ.
  ((0 ≤ (a + b))
  ⇒ ((((a * a * a) + (b * b * b)) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ
     ⇐⇒ ∃d:ℕ
          (((a + b) = d ∈ ℤ)
          ∧ (((d = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
            ∨ ((¬(d = 0 ∈ ℤ))
              ∧ ((k - c * c * c rem d) = 0 ∈ ℤ)
              ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ d) ∈ ℤ))))))
BY
{ (Intros
   THEN Assert ⌜(((a * a * a) + (b * b * b)) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ
                ⇐⇒ (((a + b) = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
                    ∨ ((¬((a + b) = 0 ∈ ℤ))
                      ∧ ((k - c * c * c rem a + b) = 0 ∈ ℤ)
                      ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ a + b) ∈ ℤ))⌝⋅
   ) }

1
.....assertion..... 
1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c : ℤ
5. 0 ≤ (a + b)
⊢ (((a * a * a) + (b * b * b)) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ
⇐⇒ (((a + b) = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
    ∨ ((¬((a + b) = 0 ∈ ℤ))
      ∧ ((k - c * c * c rem a + b) = 0 ∈ ℤ)
      ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ a + b) ∈ ℤ))

2
1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c : ℤ
5. 0 ≤ (a + b)
6. (((a * a * a) + (b * b * b)) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ
⇐⇒ (((a + b) = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
    ∨ ((¬((a + b) = 0 ∈ ℤ))
      ∧ ((k - c * c * c rem a + b) = 0 ∈ ℤ)
      ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ a + b) ∈ ℤ))
⊢ (((a * a * a) + (b * b * b)) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ
⇐⇒ ∃d:ℕ
     (((a + b) = d ∈ ℤ)
     ∧ (((d = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
       ∨ ((¬(d = 0 ∈ ℤ))
         ∧ ((k - c * c * c rem d) = 0 ∈ ℤ)
         ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ d) ∈ ℤ))))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}a,b,c:\mBbbZ{}.
    ((0  \mleq{}  (a  +  b))
    {}\mRightarrow{}  ((((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b))  +  (c  *  c  *  c))  =  k
          \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}d:\mBbbN{}
                    (((a  +  b)  =  d)
                    \mwedge{}  (((d  =  0)  \mwedge{}  ((c  *  c  *  c)  =  k))
                        \mvee{}  ((\mneg{}(d  =  0))
                            \mwedge{}  ((k  -  c  *  c  *  c  rem  d)  =  0)
                            \mwedge{}  (((a  *  a)  +  ((b  *  b)  -  a  *  b))  =  ((k  -  c  *  c  *  c)  \mdiv{}  d)))))))


By

---

Latex:
(Intros
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}(((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b))  +  (c  *  c  *  c))  =  k
                            \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (((a  +  b)  =  0)  \mwedge{}  ((c  *  c  *  c)  =  k))
                                    \mvee{}  ((\mneg{}((a  +  b)  =  0))
                                        \mwedge{}  ((k  -  c  *  c  *  c  rem  a  +  b)  =  0)
                                        \mwedge{}  (((a  *  a)  +  ((b  *  b)  -  a  *  b))  =  ((k  -  c  *  c  *  c)  \mdiv{}  a  +  b)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  )

---

Home Index