---

Step * 1 of Lemma sum-of-three-cubes-iff-1

.....assertion..... 
1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c : ℤ
5. 0 ≤ (a + b)
⊢ (((a * a * a) + (b * b * b)) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ
⇐⇒ (((a + b) = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
    ∨ ((¬((a + b) = 0 ∈ ℤ))
      ∧ ((k - c * c * c rem a + b) = 0 ∈ ℤ)
      ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ a + b) ∈ ℤ))
BY
{ ((Subst' (a * a * a) + (b * b * b) ~ ((a * a) + ((b * b) - a * b)) * (a + b) 0 THENA Auto)
   THEN (Decide ⌜(a + b) = 0 ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto)
   ) }

1
1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c : ℤ
5. 0 ≤ (a + b)
6. (a + b) = 0 ∈ ℤ
⊢ ((((a * a) + ((b * b) - a * b)) * (a + b)) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ
⇐⇒ (((a + b) = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
    ∨ ((¬((a + b) = 0 ∈ ℤ))
      ∧ ((k - c * c * c rem a + b) = 0 ∈ ℤ)
      ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ a + b) ∈ ℤ))

2
1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c : ℤ
5. 0 ≤ (a + b)
6. ¬((a + b) = 0 ∈ ℤ)
⊢ ((((a * a) + ((b * b) - a * b)) * (a + b)) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ
⇐⇒ (((a + b) = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
    ∨ ((¬((a + b) = 0 ∈ ℤ))
      ∧ ((k - c * c * c rem a + b) = 0 ∈ ℤ)
      ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ a + b) ∈ ℤ))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  k  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbZ{}
3.  b  :  \mBbbZ{}
4.  c  :  \mBbbZ{}
5.  0  \mleq{}  (a  +  b)
\mvdash{}  (((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b))  +  (c  *  c  *  c))  =  k
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (((a  +  b)  =  0)  \mwedge{}  ((c  *  c  *  c)  =  k))
        \mvee{}  ((\mneg{}((a  +  b)  =  0))
            \mwedge{}  ((k  -  c  *  c  *  c  rem  a  +  b)  =  0)
            \mwedge{}  (((a  *  a)  +  ((b  *  b)  -  a  *  b))  =  ((k  -  c  *  c  *  c)  \mdiv{}  a  +  b)))


By

---

Latex:
((Subst'  (a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b)  \msim{}  ((a  *  a)  +  ((b  *  b)  -  a  *  b))  *  (a  +  b)  0  THENA  Auto)
  THEN  (Decide  \mkleeneopen{}(a  +  b)  =  0\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  )

---

Home Index