---

Step * 1 2 of Lemma sum-of-three-cubes-iff-1


1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c : ℤ
5. 0 ≤ (a + b)
6. ¬((a + b) = 0 ∈ ℤ)
⊢ ((((a * a) + ((b * b) - a * b)) * (a + b)) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ
⇐⇒ (((a + b) = 0 ∈ ℤ) ∧ ((c * c * c) = k ∈ ℤ))
    ∨ ((¬((a + b) = 0 ∈ ℤ))
      ∧ ((k - c * c * c rem a + b) = 0 ∈ ℤ)
      ∧ (((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ a + b) ∈ ℤ))
BY
{ ((InstLemma `div_rem_sum` [⌜k - c * c * c⌝;⌜a + b⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN GenConclTerms Auto [⌜c * c * c⌝;⌜(a * a) + ((b * b) - a * b)⌝;⌜a + b⌝]⋅) }

1
1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c : ℤ
5. 0 ≤ (a + b)
6. v : ℤ
7. (c * c * c) = v ∈ ℤ
8. v1 : ℤ
9. ((a * a) + ((b * b) - a * b)) = v1 ∈ ℤ
10. v2 : ℤ
11. (a + b) = v2 ∈ ℤ
⊢ (¬(v2 = 0 ∈ ℤ))
⇒ ((k - v) = ((((k - v) ÷ v2) * v2) + (k - v rem v2)) ∈ ℤ)
⇒ (((v1 * v2) + v) = k ∈ ℤ
   ⇐⇒ ((v2 = 0 ∈ ℤ) ∧ (v = k ∈ ℤ)) ∨ ((¬(v2 = 0 ∈ ℤ)) ∧ ((k - v rem v2) = 0 ∈ ℤ) ∧ (v1 = ((k - v) ÷ v2) ∈ ℤ)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbZ{}
3.  b  :  \mBbbZ{}
4.  c  :  \mBbbZ{}
5.  0  \mleq{}  (a  +  b)
6.  \mneg{}((a  +  b)  =  0)
\mvdash{}  ((((a  *  a)  +  ((b  *  b)  -  a  *  b))  *  (a  +  b))  +  (c  *  c  *  c))  =  k
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (((a  +  b)  =  0)  \mwedge{}  ((c  *  c  *  c)  =  k))
        \mvee{}  ((\mneg{}((a  +  b)  =  0))
            \mwedge{}  ((k  -  c  *  c  *  c  rem  a  +  b)  =  0)
            \mwedge{}  (((a  *  a)  +  ((b  *  b)  -  a  *  b))  =  ((k  -  c  *  c  *  c)  \mdiv{}  a  +  b)))


By

---

Latex:
((InstLemma  `div\_rem\_sum`  [\mkleeneopen{}k  -  c  *  c  *  c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a  +  b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}c  *  c  *  c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(a  *  a)  +  ((b  *  b)  -  a  *  b)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a  +  b\mkleeneclose{}]\mcdot{})

---

Home Index