---

Step * 1 2 1 of Lemma sum-of-three-cubes-iff-1


1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c : ℤ
5. 0 ≤ (a + b)
6. v : ℤ
7. (c * c * c) = v ∈ ℤ
8. v1 : ℤ
9. ((a * a) + ((b * b) - a * b)) = v1 ∈ ℤ
10. v2 : ℤ
11. (a + b) = v2 ∈ ℤ
⊢ (¬(v2 = 0 ∈ ℤ))
⇒ ((k - v) = ((((k - v) ÷ v2) * v2) + (k - v rem v2)) ∈ ℤ)
⇒ (((v1 * v2) + v) = k ∈ ℤ
   ⇐⇒ ((v2 = 0 ∈ ℤ) ∧ (v = k ∈ ℤ)) ∨ ((¬(v2 = 0 ∈ ℤ)) ∧ ((k - v rem v2) = 0 ∈ ℤ) ∧ (v1 = ((k - v) ÷ v2) ∈ ℤ)))
BY
{ (All Thin THEN Auto) }

1
1. k : ℕ
2. v : ℤ
3. v1 : ℤ
4. v2 : ℤ
5. ¬(v2 = 0 ∈ ℤ)
6. (k - v) = ((((k - v) ÷ v2) * v2) + (k - v rem v2)) ∈ ℤ
7. ((v1 * v2) + v) = k ∈ ℤ
8. ¬(v2 = 0 ∈ ℤ)
⊢ (k - v rem v2) = 0 ∈ ℤ

2
1. k : ℕ
2. v : ℤ
3. v1 : ℤ
4. v2 : ℤ
5. ¬(v2 = 0 ∈ ℤ)
6. (k - v) = ((((k - v) ÷ v2) * v2) + (k - v rem v2)) ∈ ℤ
7. ((v1 * v2) + v) = k ∈ ℤ
8. ¬(v2 = 0 ∈ ℤ)
9. (k - v rem v2) = 0 ∈ ℤ
⊢ v1 = ((k - v) ÷ v2) ∈ ℤ

3
1. k : ℕ
2. v : ℤ
3. v1 : ℤ
4. v2 : ℤ
5. ¬(v2 = 0 ∈ ℤ)
6. (k - v) = ((((k - v) ÷ v2) * v2) + (k - v rem v2)) ∈ ℤ
7. ((v2 = 0 ∈ ℤ) ∧ (v = k ∈ ℤ)) ∨ ((¬(v2 = 0 ∈ ℤ)) ∧ ((k - v rem v2) = 0 ∈ ℤ) ∧ (v1 = ((k - v) ÷ v2) ∈ ℤ))
⊢ ((v1 * v2) + v) = k ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbZ{}
3.  b  :  \mBbbZ{}
4.  c  :  \mBbbZ{}
5.  0  \mleq{}  (a  +  b)
6.  v  :  \mBbbZ{}
7.  (c  *  c  *  c)  =  v
8.  v1  :  \mBbbZ{}
9.  ((a  *  a)  +  ((b  *  b)  -  a  *  b))  =  v1
10.  v2  :  \mBbbZ{}
11.  (a  +  b)  =  v2
\mvdash{}  (\mneg{}(v2  =  0))
{}\mRightarrow{}  ((k  -  v)  =  ((((k  -  v)  \mdiv{}  v2)  *  v2)  +  (k  -  v  rem  v2)))
{}\mRightarrow{}  (((v1  *  v2)  +  v)  =  k
      \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  ((v2  =  0)  \mwedge{}  (v  =  k))  \mvee{}  ((\mneg{}(v2  =  0))  \mwedge{}  ((k  -  v  rem  v2)  =  0)  \mwedge{}  (v1  =  ((k  -  v)  \mdiv{}  v2))))


By

---

Latex:
(All  Thin  THEN  Auto)

---

Home Index