---

Step * 1 1 2 1 1 2 1 1 of Lemma satisfiable-exact-reduce-constraints


1. eqs : ℤ List List
2. i : ℕ||eqs||
3. j : ℕ+||eqs[i]||
4. exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5. ineqs : ℤ List List
6. xs : ℤ List
7. satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8. (∀e∈eqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
9. (∀e∈ineqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
10. ||eqs[i]|| ~ ||xs||
11. eqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
12. ineqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
13. 1 ≤ j
14. j < ||xs||
15. 0 < ||xs\j||
16. hd(xs\j) = hd(xs) ∈ ℤ
17. (∀bs∈ineqs.xs ⋅ bs ≥0)
18. ∀i:ℕ||eqs||. xs ⋅ eqs[i] =0
19. i@0 : ℕ||eqs||
20. ||xs|| = ||eqs[i@0]|| ∈ ℤ
21. 0 < ||xs||
22. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
23. eqs[i@0] ⋅ xs = 0 ∈ ℤ
24. 0 < ||xs\j||
25. hd(xs\j) = 1 ∈ ℤ
26. ||xs|| = ||eqs[i@0]|| ∈ ℤ
27. 0 < ||xs||
28. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
29. eqs[i@0] ⋅ xs = 0 ∈ ℤ
30. xs[j] = if (eqs[i][j] =z 1) then -1 * eqs[i]\j ⋅ xs\j else eqs[i]\j ⋅ xs\j fi  ∈ ℤ
⊢ if (eqs[i][j] =z 1) then -1 * eqs[i]\j ⋅ xs\j else eqs[i]\j ⋅ xs\j fi  = -eqs[i][j] * eqs[i]\j ⋅ xs\j ∈ ℤ
BY
{ TACTIC:(MoveToConcl 4 THEN Unfold `exact-eq-constraint` 0 THEN (GenConclTerm ⌜eqs[i][j]⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. eqs : ℤ List List
2. i : ℕ||eqs||
3. j : ℕ+||eqs[i]||
4. ineqs : ℤ List List
5. xs : ℤ List
6. satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
7. (∀e∈eqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
8. (∀e∈ineqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
9. ||eqs[i]|| ~ ||xs||
10. eqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
11. ineqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
12. 1 ≤ j
13. j < ||xs||
14. 0 < ||xs\j||
15. hd(xs\j) = hd(xs) ∈ ℤ
16. (∀bs∈ineqs.xs ⋅ bs ≥0)
17. ∀i:ℕ||eqs||. xs ⋅ eqs[i] =0
18. i@0 : ℕ||eqs||
19. ||xs|| = ||eqs[i@0]|| ∈ ℤ
20. 0 < ||xs||
21. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
22. eqs[i@0] ⋅ xs = 0 ∈ ℤ
23. 0 < ||xs\j||
24. hd(xs\j) = 1 ∈ ℤ
25. ||xs|| = ||eqs[i@0]|| ∈ ℤ
26. 0 < ||xs||
27. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
28. eqs[i@0] ⋅ xs = 0 ∈ ℤ
29. xs[j] = if (eqs[i][j] =z 1) then -1 * eqs[i]\j ⋅ xs\j else eqs[i]\j ⋅ xs\j fi  ∈ ℤ
30. v : ℤ
31. eqs[i][j] = v ∈ ℤ
⊢ (|v| = 1 ∈ ℤ) ⇒ (if (v =z 1) then -1 * eqs[i]\j ⋅ xs\j else eqs[i]\j ⋅ xs\j fi  = -v * eqs[i]\j ⋅ xs\j ∈ ℤ)

---

Latex:

---

Latex:

1.  eqs  :  \mBbbZ{}  List  List
2.  i  :  \mBbbN{}||eqs||
3.  j  :  \mBbbN{}\msupplus{}||eqs[i]||
4.  exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5.  ineqs  :  \mBbbZ{}  List  List
6.  xs  :  \mBbbZ{}  List
7.  satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8.  (\mforall{}e\mmember{}eqs.||e||  =  ||xs||)
9.  (\mforall{}e\mmember{}ineqs.||e||  =  ||xs||)
10.  ||eqs[i]||  \msim{}  ||xs||
11.  eqs  \mmember{}  \{l:\mBbbZ{}  List|  ||l||  =  ||eqs[i]||\}    List
12.  ineqs  \mmember{}  \{l:\mBbbZ{}  List|  ||l||  =  ||eqs[i]||\}    List
13.  1  \mleq{}  j
14.  j  <  ||xs||
15.  0  <  ||xs\mbackslash{}j||
16.  hd(xs\mbackslash{}j)  =  hd(xs)
17.  (\mforall{}bs\mmember{}ineqs.xs  \mcdot{}  bs  \mgeq{}0)
18.  \mforall{}i:\mBbbN{}||eqs||.  xs  \mcdot{}  eqs[i]  =0
19.  i@0  :  \mBbbN{}||eqs||
20.  ||xs||  =  ||eqs[i@0]||
21.  0  <  ||xs||
22.  hd(xs)  =  1
23.  eqs[i@0]  \mcdot{}  xs  =  0
24.  0  <  ||xs\mbackslash{}j||
25.  hd(xs\mbackslash{}j)  =  1
26.  ||xs||  =  ||eqs[i@0]||
27.  0  <  ||xs||
28.  hd(xs)  =  1
29.  eqs[i@0]  \mcdot{}  xs  =  0
30.  xs[j]  =  if  (eqs[i][j]  =\msubz{}  1)  then  -1  *  eqs[i]\mbackslash{}j  \mcdot{}  xs\mbackslash{}j  else  eqs[i]\mbackslash{}j  \mcdot{}  xs\mbackslash{}j  fi 
\mvdash{}  if  (eqs[i][j]  =\msubz{}  1)  then  -1  *  eqs[i]\mbackslash{}j  \mcdot{}  xs\mbackslash{}j  else  eqs[i]\mbackslash{}j  \mcdot{}  xs\mbackslash{}j  fi 
=  -eqs[i][j]  *  eqs[i]\mbackslash{}j  \mcdot{}  xs\mbackslash{}j


By

---

Latex:
TACTIC:(MoveToConcl  4
                THEN  Unfold  `exact-eq-constraint`  0
                THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}eqs[i][j]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index