---

Step * 1 1 2 1 1 2 1 1 1 of Lemma satisfiable-exact-reduce-constraints


1. eqs : ℤ List List
2. i : ℕ||eqs||
3. j : ℕ+||eqs[i]||
4. ineqs : ℤ List List
5. xs : ℤ List
6. satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
7. (∀e∈eqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
8. (∀e∈ineqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
9. ||eqs[i]|| ~ ||xs||
10. eqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
11. ineqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
12. 1 ≤ j
13. j < ||xs||
14. 0 < ||xs\j||
15. hd(xs\j) = hd(xs) ∈ ℤ
16. (∀bs∈ineqs.xs ⋅ bs ≥0)
17. ∀i:ℕ||eqs||. xs ⋅ eqs[i] =0
18. i@0 : ℕ||eqs||
19. ||xs|| = ||eqs[i@0]|| ∈ ℤ
20. 0 < ||xs||
21. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
22. eqs[i@0] ⋅ xs = 0 ∈ ℤ
23. 0 < ||xs\j||
24. hd(xs\j) = 1 ∈ ℤ
25. ||xs|| = ||eqs[i@0]|| ∈ ℤ
26. 0 < ||xs||
27. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
28. eqs[i@0] ⋅ xs = 0 ∈ ℤ
29. xs[j] = if (eqs[i][j] =z 1) then -1 * eqs[i]\j ⋅ xs\j else eqs[i]\j ⋅ xs\j fi  ∈ ℤ
30. v : ℤ
31. eqs[i][j] = v ∈ ℤ
⊢ (|v| = 1 ∈ ℤ) ⇒ (if (v =z 1) then -1 * eqs[i]\j ⋅ xs\j else eqs[i]\j ⋅ xs\j fi  = -v * eqs[i]\j ⋅ xs\j ∈ ℤ)
BY
{ TACTIC:((D 0 THENA Auto)
          THEN (RWO "absval_cases" (-1) THENA Auto)
          THEN (D -1 THEN HypSubst' (-1) 0)
          THEN Reduce 0
          THEN Auto) }

1
1. eqs : ℤ List List
2. i : ℕ||eqs||
3. j : ℕ+||eqs[i]||
4. ineqs : ℤ List List
5. xs : ℤ List
6. satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
7. (∀e∈eqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
8. (∀e∈ineqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
9. ||eqs[i]|| ~ ||xs||
10. eqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
11. ineqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
12. 1 ≤ j
13. j < ||xs||
14. 0 < ||xs\j||
15. hd(xs\j) = hd(xs) ∈ ℤ
16. (∀bs∈ineqs.xs ⋅ bs ≥0)
17. ∀i:ℕ||eqs||. xs ⋅ eqs[i] =0
18. i@0 : ℕ||eqs||
19. ||xs|| = ||eqs[i@0]|| ∈ ℤ
20. 0 < ||xs||
21. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
22. eqs[i@0] ⋅ xs = 0 ∈ ℤ
23. 0 < ||xs\j||
24. hd(xs\j) = 1 ∈ ℤ
25. ||xs|| = ||eqs[i@0]|| ∈ ℤ
26. 0 < ||xs||
27. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
28. eqs[i@0] ⋅ xs = 0 ∈ ℤ
29. xs[j] = if (eqs[i][j] =z 1) then -1 * eqs[i]\j ⋅ xs\j else eqs[i]\j ⋅ xs\j fi  ∈ ℤ
30. v : ℤ
31. eqs[i][j] = v ∈ ℤ
32. v = (-1) ∈ ℤ
⊢ eqs[i]\j ⋅ xs\j = 1 * eqs[i]\j ⋅ xs\j ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  eqs  :  \mBbbZ{}  List  List
2.  i  :  \mBbbN{}||eqs||
3.  j  :  \mBbbN{}\msupplus{}||eqs[i]||
4.  ineqs  :  \mBbbZ{}  List  List
5.  xs  :  \mBbbZ{}  List
6.  satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
7.  (\mforall{}e\mmember{}eqs.||e||  =  ||xs||)
8.  (\mforall{}e\mmember{}ineqs.||e||  =  ||xs||)
9.  ||eqs[i]||  \msim{}  ||xs||
10.  eqs  \mmember{}  \{l:\mBbbZ{}  List|  ||l||  =  ||eqs[i]||\}    List
11.  ineqs  \mmember{}  \{l:\mBbbZ{}  List|  ||l||  =  ||eqs[i]||\}    List
12.  1  \mleq{}  j
13.  j  <  ||xs||
14.  0  <  ||xs\mbackslash{}j||
15.  hd(xs\mbackslash{}j)  =  hd(xs)
16.  (\mforall{}bs\mmember{}ineqs.xs  \mcdot{}  bs  \mgeq{}0)
17.  \mforall{}i:\mBbbN{}||eqs||.  xs  \mcdot{}  eqs[i]  =0
18.  i@0  :  \mBbbN{}||eqs||
19.  ||xs||  =  ||eqs[i@0]||
20.  0  <  ||xs||
21.  hd(xs)  =  1
22.  eqs[i@0]  \mcdot{}  xs  =  0
23.  0  <  ||xs\mbackslash{}j||
24.  hd(xs\mbackslash{}j)  =  1
25.  ||xs||  =  ||eqs[i@0]||
26.  0  <  ||xs||
27.  hd(xs)  =  1
28.  eqs[i@0]  \mcdot{}  xs  =  0
29.  xs[j]  =  if  (eqs[i][j]  =\msubz{}  1)  then  -1  *  eqs[i]\mbackslash{}j  \mcdot{}  xs\mbackslash{}j  else  eqs[i]\mbackslash{}j  \mcdot{}  xs\mbackslash{}j  fi 
30.  v  :  \mBbbZ{}
31.  eqs[i][j]  =  v
\mvdash{}  (|v|  =  1)
{}\mRightarrow{}  (if  (v  =\msubz{}  1)  then  -1  *  eqs[i]\mbackslash{}j  \mcdot{}  xs\mbackslash{}j  else  eqs[i]\mbackslash{}j  \mcdot{}  xs\mbackslash{}j  fi    =  -v  *  eqs[i]\mbackslash{}j  \mcdot{}  xs\mbackslash{}j)


By

---

Latex:
TACTIC:((D  0  THENA  Auto)
                THEN  (RWO  "absval\_cases"  (-1)  THENA  Auto)
                THEN  (D  -1  THEN  HypSubst'  (-1)  0)
                THEN  Reduce  0
                THEN  Auto)

---

Home Index