---

Step * 1 1 of Lemma AF-induction-iff


1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀Q:T ⟶ ℙ. TI(T;x,y.R[x;y];t.Q[t]) supposing ∃R':T ⟶ T ⟶ ℙ. (AFx,y:T.R'[x;y] ∧ (∀x,y:T.  (R+[x;y] ⇒ (¬R'[x;y]))))
4. ∀x,y:T.  Dec(R+[x;y])
5. ∀Q:T ⟶ ℙ. TI(T;x,y.R[x;y];t.Q[t])
6. f : ℕ ⟶ T
⊢ ↓∃i,j:ℕ. (i < j ∧ (¬(R+ (f i) (f j))))
BY
{ ((InstHyp [⌜λ2x.∀f:ℕ ⟶ T. (((f 0) = x ∈ T) ⇒ (↓∃n:ℕ. (¬(R+ (f n) (f (n + 1))))))⌝] (-2)⋅ THENA Auto)
   THEN (D -1 THENM (InstHyp [⌜f 0⌝;⌜f⌝] (-1)⋅ THEN Auto))
   ) }

1
.....antecedent..... 
1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀Q:T ⟶ ℙ. TI(T;x,y.R[x;y];t.Q[t]) supposing ∃R':T ⟶ T ⟶ ℙ. (AFx,y:T.R'[x;y] ∧ (∀x,y:T.  (R+[x;y] ⇒ (¬R'[x;y]))))
4. ∀x,y:T.  Dec(R+[x;y])
5. ∀Q:T ⟶ ℙ. TI(T;x,y.R[x;y];t.Q[t])
6. f : ℕ ⟶ T
⊢ ∀t:T
    ((∀s:{s:T| R[t;s]} . ∀f:ℕ ⟶ T.  (((f 0) = s ∈ T) ⇒ (↓∃n:ℕ. (¬(R+ (f n) (f (n + 1)))))))
    ⇒ (∀f:ℕ ⟶ T. (((f 0) = t ∈ T) ⇒ (↓∃n:ℕ. (¬(R+ (f n) (f (n + 1))))))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  R  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}Q:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  TI(T;x,y.R[x;y];t.Q[t]) 
      supposing  \mexists{}R':T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  (AFx,y:T.R'[x;y]  \mwedge{}  (\mforall{}x,y:T.    (R\msupplus{}[x;y]  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}R'[x;y]))))
4.  \mforall{}x,y:T.    Dec(R\msupplus{}[x;y])
5.  \mforall{}Q:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  TI(T;x,y.R[x;y];t.Q[t])
6.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
\mvdash{}  \mdownarrow{}\mexists{}i,j:\mBbbN{}.  (i  <  j  \mwedge{}  (\mneg{}(R\msupplus{}  (f  i)  (f  j))))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  (((f  0)  =  x)  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}(R\msupplus{}  (f  n)  (f  (n  +  1))))))\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  THENM  (InstHyp  [\mkleeneopen{}f  0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THEN  Auto))
  )

---

Home Index