---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma transitive-closure-map


1. A : Type
2. R : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. f : A ⟶ A
4. g : ∀x,y:A.  ((R x y) ⇒ (R (f x) (f y)))
5. x : A
6. y : A
7. L : (a:A × b:A × (R a b)) List
8. rel_path(A;L;x;y)
9. F : (a:A × b:A × (R a b)) ⟶ (a:A × b:A × (R a b))
10. ∀u:a:A × b:A × (R a b). ((fst((F u))) = (f (fst(u))) ∈ A)
11. ∀u:a:A × b:A × (R a b). ((fst(snd((F u)))) = (f (fst(snd(u)))) ∈ A)
⊢ rel_path(A;map(F;L);f x;f y)
BY
{ Assert ⌜∀x,y:A.  (rel_path(A;L;x;y) ⇒ rel_path(A;map(F;L);f x;f y))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. A : Type
2. R : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. f : A ⟶ A
4. g : ∀x,y:A.  ((R x y) ⇒ (R (f x) (f y)))
5. x : A
6. y : A
7. L : (a:A × b:A × (R a b)) List
8. rel_path(A;L;x;y)
9. F : (a:A × b:A × (R a b)) ⟶ (a:A × b:A × (R a b))
10. ∀u:a:A × b:A × (R a b). ((fst((F u))) = (f (fst(u))) ∈ A)
11. ∀u:a:A × b:A × (R a b). ((fst(snd((F u)))) = (f (fst(snd(u)))) ∈ A)
⊢ ∀x,y:A.  (rel_path(A;L;x;y) ⇒ rel_path(A;map(F;L);f x;f y))

2
1. A : Type
2. R : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. f : A ⟶ A
4. g : ∀x,y:A.  ((R x y) ⇒ (R (f x) (f y)))
5. x : A
6. y : A
7. L : (a:A × b:A × (R a b)) List
8. rel_path(A;L;x;y)
9. F : (a:A × b:A × (R a b)) ⟶ (a:A × b:A × (R a b))
10. ∀u:a:A × b:A × (R a b). ((fst((F u))) = (f (fst(u))) ∈ A)
11. ∀u:a:A × b:A × (R a b). ((fst(snd((F u)))) = (f (fst(snd(u)))) ∈ A)
12. ∀x,y:A.  (rel_path(A;L;x;y) ⇒ rel_path(A;map(F;L);f x;f y))
⊢ rel_path(A;map(F;L);f x;f y)

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  Type
2.  R  :  A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  A
4.  g  :  \mforall{}x,y:A.    ((R  x  y)  {}\mRightarrow{}  (R  (f  x)  (f  y)))
5.  x  :  A
6.  y  :  A
7.  L  :  (a:A  \mtimes{}  b:A  \mtimes{}  (R  a  b))  List
8.  rel\_path(A;L;x;y)
9.  F  :  (a:A  \mtimes{}  b:A  \mtimes{}  (R  a  b))  {}\mrightarrow{}  (a:A  \mtimes{}  b:A  \mtimes{}  (R  a  b))
10.  \mforall{}u:a:A  \mtimes{}  b:A  \mtimes{}  (R  a  b).  ((fst((F  u)))  =  (f  (fst(u))))
11.  \mforall{}u:a:A  \mtimes{}  b:A  \mtimes{}  (R  a  b).  ((fst(snd((F  u))))  =  (f  (fst(snd(u)))))
\mvdash{}  rel\_path(A;map(F;L);f  x;f  y)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}x,y:A.    (rel\_path(A;L;x;y)  {}\mRightarrow{}  rel\_path(A;map(F;L);f  x;f  y))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index