---

Step * 1 1 1 2 of Lemma bag-summation-add


1. T : Type
2. R : Type
3. add : R ⟶ R ⟶ R
4. zero : R
5. f : T ⟶ R
6. g : T ⟶ R
7. IsMonoid(R;add;zero)
8. Comm(R;add)
9. u : T
10. v : T List
11. ∀x,y,z:R.
      ((z = add[x;y] ∈ R)
      ⇒ (accumulate (with value c and list item x):
           add add[f[x];g[x]] c
          over list:
            v
          with starting value:
           z)
         = add[accumulate (with value c and list item x):
                add f[x] c
               over list:
                 v
               with starting value:
                x);accumulate (with value c and list item x):
                    add g[x] c
                   over list:
                     v
                   with starting value:
                    y)]
         ∈ R))
⊢ ∀x,y,z:R.
    ((z = add[x;y] ∈ R)
    ⇒ (accumulate (with value c and list item x):
         add add[f[x];g[x]] c
        over list:
          v
        with starting value:
         add add[f[u];g[u]] z)
       = add[accumulate (with value c and list item x):
              add f[x] c
             over list:
               v
             with starting value:
              add f[u] x);accumulate (with value c and list item x):
                           add g[x] c
                          over list:
                            v
                          with starting value:
                           add g[u] y)]
       ∈ R))
BY
{ (Auto THEN BackThruSomeHyp) }

1
1. T : Type
2. R : Type
3. add : R ⟶ R ⟶ R
4. zero : R
5. f : T ⟶ R
6. g : T ⟶ R
7. IsMonoid(R;add;zero)
8. Comm(R;add)
9. u : T
10. v : T List
11. ∀x,y,z:R.
      ((z = add[x;y] ∈ R)
      ⇒ (accumulate (with value c and list item x):
           add add[f[x];g[x]] c
          over list:
            v
          with starting value:
           z)
         = add[accumulate (with value c and list item x):
                add f[x] c
               over list:
                 v
               with starting value:
                x);accumulate (with value c and list item x):
                    add g[x] c
                   over list:
                     v
                   with starting value:
                    y)]
         ∈ R))
12. x : R
13. y : R
14. z : R
15. z = add[x;y] ∈ R
⊢ (add add[f[u];g[u]] z) = add[add f[u] x;add g[u] y] ∈ R

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  R  :  Type
3.  add  :  R  {}\mrightarrow{}  R  {}\mrightarrow{}  R
4.  zero  :  R
5.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  R
6.  g  :  T  {}\mrightarrow{}  R
7.  IsMonoid(R;add;zero)
8.  Comm(R;add)
9.  u  :  T
10.  v  :  T  List
11.  \mforall{}x,y,z:R.
            ((z  =  add[x;y])
            {}\mRightarrow{}  (accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                      add  add[f[x];g[x]]  c
                    over  list:
                        v
                    with  starting  value:
                      z)
                  =  add[accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                                add  f[x]  c
                              over  list:
                                  v
                              with  starting  value:
                                x);accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                                        add  g[x]  c
                                      over  list:
                                          v
                                      with  starting  value:
                                        y)]))
\mvdash{}  \mforall{}x,y,z:R.
        ((z  =  add[x;y])
        {}\mRightarrow{}  (accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                  add  add[f[x];g[x]]  c
                over  list:
                    v
                with  starting  value:
                  add  add[f[u];g[u]]  z)
              =  add[accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                            add  f[x]  c
                          over  list:
                              v
                          with  starting  value:
                            add  f[u]  x);accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                                                      add  g[x]  c
                                                    over  list:
                                                        v
                                                    with  starting  value:
                                                      add  g[u]  y)]))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  BackThruSomeHyp)

---

Home Index