---

Step * 1 1 1 of Lemma bag-summation-equal-implies-all-equal


1. T : Type
2. b : bag(T)
3. f : {x:T| x ↓∈ b}  ⟶ ℤ
4. g : {x:T| x ↓∈ b}  ⟶ ℤ
5. (∀x:{x:T| x ↓∈ b} . (x ↓∈ b ⇒ (f[x] = g[x] ∈ ℤ))) supposing 
      ((Σ(x∈b). g[x] ≤ Σ(x∈b). f[x]) and 
      (∀x:{x:T| x ↓∈ b} . (x ↓∈ b ⇒ (f[x] ≤ g[x]))))
6. ∀x:T. (x ↓∈ b ⇒ (f[x] ≤ g[x]))
7. Σ(x∈b). g[x] ≤ Σ(x∈b). f[x]
8. x : T@i
9. x ↓∈ b
⊢ f[x] = g[x] ∈ ℤ
BY
{ TACTIC:D -5 }

1
.....antecedent..... 
1. T : Type
2. b : bag(T)
3. f : {x:T| x ↓∈ b}  ⟶ ℤ
4. g : {x:T| x ↓∈ b}  ⟶ ℤ
5. ∀x:T. (x ↓∈ b ⇒ (f[x] ≤ g[x]))
6. Σ(x∈b). g[x] ≤ Σ(x∈b). f[x]
7. x : T@i
8. x ↓∈ b
⊢ ∀x:{x:T| x ↓∈ b} . (x ↓∈ b ⇒ (f[x] ≤ g[x]))

2
1. T : Type
2. b : bag(T)
3. f : {x:T| x ↓∈ b}  ⟶ ℤ
4. g : {x:T| x ↓∈ b}  ⟶ ℤ
5. ∀x:T. (x ↓∈ b ⇒ (f[x] ≤ g[x]))
6. Σ(x∈b). g[x] ≤ Σ(x∈b). f[x]
7. x : T@i
8. x ↓∈ b
9. ∀x:{x:T| x ↓∈ b} . (x ↓∈ b ⇒ (f[x] = g[x] ∈ ℤ)) supposing Σ(x∈b). g[x] ≤ Σ(x∈b). f[x]
⊢ f[x] = g[x] ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  b  :  bag(T)
3.  f  :  \{x:T|  x  \mdownarrow{}\mmember{}  b\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
4.  g  :  \{x:T|  x  \mdownarrow{}\mmember{}  b\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
5.  (\mforall{}x:\{x:T|  x  \mdownarrow{}\mmember{}  b\}  .  (x  \mdownarrow{}\mmember{}  b  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  g[x])))  supposing 
            ((\mSigma{}(x\mmember{}b).  g[x]  \mleq{}  \mSigma{}(x\mmember{}b).  f[x])  and 
            (\mforall{}x:\{x:T|  x  \mdownarrow{}\mmember{}  b\}  .  (x  \mdownarrow{}\mmember{}  b  {}\mRightarrow{}  (f[x]  \mleq{}  g[x]))))
6.  \mforall{}x:T.  (x  \mdownarrow{}\mmember{}  b  {}\mRightarrow{}  (f[x]  \mleq{}  g[x]))
7.  \mSigma{}(x\mmember{}b).  g[x]  \mleq{}  \mSigma{}(x\mmember{}b).  f[x]
8.  x  :  T@i
9.  x  \mdownarrow{}\mmember{}  b
\mvdash{}  f[x]  =  g[x]


By

---

Latex:
TACTIC:D  -5

---

Home Index