---

Step * 1 2 1 1 1 of Lemma bag-moebius-property1


1. T : Type
2. valueall-type(T)
3. eq : EqDecider(T)
4. b : T List
5. ¬(b = {} ∈ bag(T))
6. ∀[f:bag(T) ⟶ ℤ]
     Σ(x∈sub-bags(eq;b)). f[x]
     = (Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]). f[x]
       + Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|¬bbag-has-no-repeats(eq;x)]). f[x])
     ∈ ℤ 
     supposing IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0) ∧ Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
7. Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
8. IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0)
9. x : bag(T)
10. x ↓∈ [x∈sub-bags(eq;b)|¬bbag-has-no-repeats(eq;x)]
⊢ bag-moebius(eq;x) = 0 ∈ ℤ
BY
{ (BagMemberD (-1) THEN D -1 THEN (RW assert_pushdownC (-1) THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. valueall-type(T)
3. eq : EqDecider(T)
4. b : T List
5. ¬(b = {} ∈ bag(T))
6. ∀[f:bag(T) ⟶ ℤ]
     Σ(x∈sub-bags(eq;b)). f[x]
     = (Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]). f[x]
       + Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|¬bbag-has-no-repeats(eq;x)]). f[x])
     ∈ ℤ 
     supposing IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0) ∧ Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
7. Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
8. IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0)
9. x : bag(T)
10. x ↓∈ sub-bags(eq;b)
11. ¬↑bag-has-no-repeats(eq;x)
⊢ bag-moebius(eq;x) = 0 ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  valueall-type(T)
3.  eq  :  EqDecider(T)
4.  b  :  T  List
5.  \mneg{}(b  =  \{\})
6.  \mforall{}[f:bag(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}]
          \mSigma{}(x\mmember{}sub-bags(eq;b)).  f[x]
          =  (\mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]).  f[x]
              +  \mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}sub-bags(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-has-no-repeats(eq;x)]).  f[x]) 
          supposing  IsMonoid(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y);0)  \mwedge{}  Comm(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))
7.  Comm(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))
8.  IsMonoid(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y);0)
9.  x  :  bag(T)
10.  x  \mdownarrow{}\mmember{}  [x\mmember{}sub-bags(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-has-no-repeats(eq;x)]
\mvdash{}  bag-moebius(eq;x)  =  0


By

---

Latex:
(BagMemberD  (-1)  THEN  D  -1  THEN  (RW  assert\_pushdownC  (-1)  THENA  Auto))

---

Home Index