---

Step * 1 2 1 2 1 of Lemma bag-moebius-property1


1. T : Type
2. valueall-type(T)
3. eq : EqDecider(T)
4. b : T List
5. ¬(b = {} ∈ bag(T))
6. ∀[f:bag(T) ⟶ ℤ]
     Σ(x∈sub-bags(eq;b)). f[x]
     = (Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]). f[x]
       + Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|¬bbag-has-no-repeats(eq;x)]). f[x])
     ∈ ℤ 
     supposing IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0) ∧ Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
7. Comm(ℤ;λx,y. (x + y)) ∧ IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0)
8. ||b|| ≥ 1 
⊢ (Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]). bag-moebius(eq;x) + 0) = 0 ∈ ℤ
BY
{ ((InstLemma `bag-summation-split` 
    [⌜bag(T)⌝;⌜ℤ⌝;⌜λx,y. (x + y)⌝;⌜0⌝;⌜[x∈sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]⌝;⌜λ2s.0 <z (#hd(b) in s)⌝]⋅
    THENA Auto
    )
   THEN Reduce (-1)
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
   THEN Thin (-1)
   THEN Thin (-3)) }

1
1. T : Type
2. valueall-type(T)
3. eq : EqDecider(T)
4. b : T List
5. ¬(b = {} ∈ bag(T))
6. Comm(ℤ;λx,y. (x + y)) ∧ IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0)
7. ||b|| ≥ 1 
⊢ ((Σ(x∈[x∈[x∈sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]|0 <z (#hd(b) in x)]). bag-moebius(eq;x)
+ Σ(x∈[x∈[x∈sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]|¬b0 <z (#hd(b) in x)]). bag-moebius(eq;x))
+ 0)
= 0
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  valueall-type(T)
3.  eq  :  EqDecider(T)
4.  b  :  T  List
5.  \mneg{}(b  =  \{\})
6.  \mforall{}[f:bag(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}]
          \mSigma{}(x\mmember{}sub-bags(eq;b)).  f[x]
          =  (\mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]).  f[x]
              +  \mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}sub-bags(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-has-no-repeats(eq;x)]).  f[x]) 
          supposing  IsMonoid(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y);0)  \mwedge{}  Comm(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))
7.  Comm(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))  \mwedge{}  IsMonoid(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y);0)
8.  ||b||  \mgeq{}  1 
\mvdash{}  (\mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]).  bag-moebius(eq;x)  +  0)  =  0


By

---

Latex:
((InstLemma  `bag-summation-split` 
    [\mkleeneopen{}bag(T)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mBbbZ{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}x,y.  (x  +  y)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}[x\mmember{}sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]\mkleeneclose{};
    \mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}s.0  <z  (\#hd(b)  in  s)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THENA  Auto
    )
  THEN  Reduce  (-1)
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  Thin  (-3))

---

Home Index