---

Step * 1 3 2 2 1 1 1 of Lemma permutation-iff-count


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. u : T
4. v : T List
5. ∀b1:T List. ((∀x:T. (||filter(eq x;v)|| = ||filter(eq x;b1)|| ∈ ℤ)) ⇒ permutation(T;v;b1))
6. u1 : T
7. ¬(u = u1 ∈ T)
8. v1 : T List
9. (∀x:T. (||filter(eq x;[u / v])|| = ||filter(eq x;v1)|| ∈ ℤ)) ⇒ permutation(T;[u / v];v1)
10. ∀x:T. (||filter(eq x;[u / v])|| = ||filter(eq x;[u1 / v1])|| ∈ ℤ)
11. (u ∈ v1)
12. l1 : T List
13. l2 : T List
14. v1 = (l1 @ [u] @ l2) ∈ (T List)
15. x : T
16. ||filter(eq x;[u / v])|| = ||filter(eq x;[u1 / (l1 @ [u] @ l2)])|| ∈ ℤ
⊢ ||filter(eq x;v)|| = ||filter(eq x;[u1 / (l1 @ l2)])|| ∈ ℤ
BY
{ (Reduce (-1)
   THEN (SplitOnHypITE -1  THENA Auto)
   THEN (SplitOnHypITE -2  THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN SplitOnConclITE
   THEN Auto) }

1
.....falsecase..... 
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. u : T
4. v : T List
5. ∀b1:T List. ((∀x:T. (||filter(eq x;v)|| = ||filter(eq x;b1)|| ∈ ℤ)) ⇒ permutation(T;v;b1))
6. u1 : T
7. ¬(u = u1 ∈ T)
8. v1 : T List
9. (∀x:T. (||filter(eq x;[u / v])|| = ||filter(eq x;v1)|| ∈ ℤ)) ⇒ permutation(T;[u / v];v1)
10. ∀x:T. (||filter(eq x;[u / v])|| = ||filter(eq x;[u1 / v1])|| ∈ ℤ)
11. (u ∈ v1)
12. l1 : T List
13. l2 : T List
14. v1 = (l1 @ [u] @ l2) ∈ (T List)
15. x : T
16. ||[u / filter(eq x;v)]|| = ||filter(eq x;l1 @ [u / l2])|| ∈ ℤ
17. x = u ∈ T
18. ¬(x = u1 ∈ T)
19. ¬(x = u1 ∈ T)
⊢ ||filter(eq x;v)|| = ||filter(eq x;l1 @ l2)|| ∈ ℤ

2
.....truecase..... 
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. u : T
4. v : T List
5. ∀b1:T List. ((∀x:T. (||filter(eq x;v)|| = ||filter(eq x;b1)|| ∈ ℤ)) ⇒ permutation(T;v;b1))
6. u1 : T
7. ¬(u = u1 ∈ T)
8. v1 : T List
9. (∀x:T. (||filter(eq x;[u / v])|| = ||filter(eq x;v1)|| ∈ ℤ)) ⇒ permutation(T;[u / v];v1)
10. ∀x:T. (||filter(eq x;[u / v])|| = ||filter(eq x;[u1 / v1])|| ∈ ℤ)
11. (u ∈ v1)
12. l1 : T List
13. l2 : T List
14. v1 = (l1 @ [u] @ l2) ∈ (T List)
15. x : T
16. ||filter(eq x;v)|| = ||[u1 / filter(eq x;l1 @ [u / l2])]|| ∈ ℤ
17. ¬(x = u ∈ T)
18. x = u1 ∈ T
19. x = u1 ∈ T
⊢ ||filter(eq x;v)|| = ||[u1 / filter(eq x;l1 @ l2)]|| ∈ ℤ

3
.....falsecase..... 
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. u : T
4. v : T List
5. ∀b1:T List. ((∀x:T. (||filter(eq x;v)|| = ||filter(eq x;b1)|| ∈ ℤ)) ⇒ permutation(T;v;b1))
6. u1 : T
7. ¬(u = u1 ∈ T)
8. v1 : T List
9. (∀x:T. (||filter(eq x;[u / v])|| = ||filter(eq x;v1)|| ∈ ℤ)) ⇒ permutation(T;[u / v];v1)
10. ∀x:T. (||filter(eq x;[u / v])|| = ||filter(eq x;[u1 / v1])|| ∈ ℤ)
11. (u ∈ v1)
12. l1 : T List
13. l2 : T List
14. v1 = (l1 @ [u] @ l2) ∈ (T List)
15. x : T
16. ||filter(eq x;v)|| = ||filter(eq x;l1 @ [u / l2])|| ∈ ℤ
17. ¬(x = u ∈ T)
18. ¬(x = u1 ∈ T)
19. ¬(x = u1 ∈ T)
⊢ ||filter(eq x;v)|| = ||filter(eq x;l1 @ l2)|| ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  u  :  T
4.  v  :  T  List
5.  \mforall{}b1:T  List.  ((\mforall{}x:T.  (||filter(eq  x;v)||  =  ||filter(eq  x;b1)||))  {}\mRightarrow{}  permutation(T;v;b1))
6.  u1  :  T
7.  \mneg{}(u  =  u1)
8.  v1  :  T  List
9.  (\mforall{}x:T.  (||filter(eq  x;[u  /  v])||  =  ||filter(eq  x;v1)||))  {}\mRightarrow{}  permutation(T;[u  /  v];v1)
10.  \mforall{}x:T.  (||filter(eq  x;[u  /  v])||  =  ||filter(eq  x;[u1  /  v1])||)
11.  (u  \mmember{}  v1)
12.  l1  :  T  List
13.  l2  :  T  List
14.  v1  =  (l1  @  [u]  @  l2)
15.  x  :  T
16.  ||filter(eq  x;[u  /  v])||  =  ||filter(eq  x;[u1  /  (l1  @  [u]  @  l2)])||
\mvdash{}  ||filter(eq  x;v)||  =  ||filter(eq  x;[u1  /  (l1  @  l2)])||


By

---

Latex:
(Reduce  (-1)
  THEN  (SplitOnHypITE  -1    THENA  Auto)
  THEN  (SplitOnHypITE  -2    THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  SplitOnConclITE
  THEN  Auto)

---

Home Index