---

Step * 2 of Lemma fpf-contains-union-join-left2


1. [A] : Type
2. [B] : A ⟶ Type
3. eq : EqDecider(A)
4. f : a:A fp-> B[a] List
5. h : a:A fp-> B[a] List
6. g : a:A fp-> B[a] List
7. R : ⋂a:A. ((B[a] List) ⟶ B[a] ⟶ 𝔹)
8. ∀x:A. ((↑x ∈ dom(h)) ⇒ ((↑x ∈ dom(f)) c∧ h(x) ⊆ f(x)))
9. x : A
10. ↑x ∈ dom(h)
11. (↑x ∈ dom(f)) c∧ h(x) ⊆ f(x)
12. ↑x ∈ dom(fpf-union-join(eq;R;f;g))
⊢ h(x) ⊆ fpf-union-join(eq;R;f;g)(x)
BY
{ xxx(D -2
      THEN Thin (-1)
      THEN RepeatFor 3 (ParallelLast)
      THEN RWO "fpf-union-join-ap" 0
      THEN Auto
      THEN (InstLemma `fpf-union-contains` [⌜A⌝;⌜B⌝;⌜eq⌝;⌜f⌝;⌜g⌝;⌜x⌝;⌜R⌝]⋅ THENA Auto)
      THEN Unfold `l_contains` (-1)
      THEN (RWO "l_all_iff" (-1) THENA Auto)
      THEN BHyp (-1)
      THEN Auto)xxx }

1
1. [A] : Type
2. [B] : A ⟶ Type
3. eq : EqDecider(A)
4. f : a:A fp-> B[a] List
5. h : a:A fp-> B[a] List
6. g : a:A fp-> B[a] List
7. R : ⋂a:A. ((B[a] List) ⟶ B[a] ⟶ 𝔹)
8. ∀x:A. ((↑x ∈ dom(h)) ⇒ ((↑x ∈ dom(f)) c∧ h(x) ⊆ f(x)))
9. x : A
10. ↑x ∈ dom(h)
11. ↑x ∈ dom(f)
12. ∀i:ℕ||h(x)||. (h(x)[i] ∈ f(x))
13. i : ℕ||h(x)||
14. (h(x)[i] ∈ f(x))
15. ∀a:B[x]. ((a ∈ f(x)?[]) ⇒ (a ∈ fpf-union(f;g;eq;R;x)))
⊢ (h(x)[i] ∈ f(x)?[])

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  [B]  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  eq  :  EqDecider(A)
4.  f  :  a:A  fp->  B[a]  List
5.  h  :  a:A  fp->  B[a]  List
6.  g  :  a:A  fp->  B[a]  List
7.  R  :  \mcap{}a:A.  ((B[a]  List)  {}\mrightarrow{}  B[a]  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})
8.  \mforall{}x:A.  ((\muparrow{}x  \mmember{}  dom(h))  {}\mRightarrow{}  ((\muparrow{}x  \mmember{}  dom(f))  c\mwedge{}  h(x)  \msubseteq{}  f(x)))
9.  x  :  A
10.  \muparrow{}x  \mmember{}  dom(h)
11.  (\muparrow{}x  \mmember{}  dom(f))  c\mwedge{}  h(x)  \msubseteq{}  f(x)
12.  \muparrow{}x  \mmember{}  dom(fpf-union-join(eq;R;f;g))
\mvdash{}  h(x)  \msubseteq{}  fpf-union-join(eq;R;f;g)(x)


By

---

Latex:
xxx(D  -2
        THEN  Thin  (-1)
        THEN  RepeatFor  3  (ParallelLast)
        THEN  RWO  "fpf-union-join-ap"  0
        THEN  Auto
        THEN  (InstLemma  `fpf-union-contains`  [\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}B\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}eq\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}R\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
        THEN  Unfold  `l\_contains`  (-1)
        THEN  (RWO  "l\_all\_iff"  (-1)  THENA  Auto)
        THEN  BHyp  (-1)
        THEN  Auto)xxx

---

Home Index