---

Step * 1 2 1 of Lemma decidable-filter


1. [T] : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀[P:T ⟶ ℙ]. ((∀x∈v.Dec(P[x])) ⇒ (∃L':T List. (L' ⊆ v ∧ (∀x:T. ((x ∈ L') ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ P[x])))))
5. [P] : T ⟶ ℙ
6. P[u]
7. (∀x∈v.Dec(P[x]))
8. ∃L':T List. (L' ⊆ v ∧ (∀x:T. ((x ∈ L') ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ P[x])))
⊢ ∃L':T List. (L' ⊆ [u / v] ∧ (∀x:T. ((x ∈ L') ⇐⇒ (x ∈ [u / v]) ∧ P[x])))
BY
{ (ExRepD THEN (InstConcl [⌜[u / L']⌝])⋅ THEN Auto THEN (All (\h. (RWO "cons_member" h THENA Complete (Auto))))⋅) }

1
1. [T] : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀[P:T ⟶ ℙ]. ((∀x∈v.Dec(P[x])) ⇒ (∃L':T List. (L' ⊆ v ∧ (∀x:T. ((x ∈ L') ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ P[x])))))
5. [P] : T ⟶ ℙ
6. P[u]
7. (∀x∈v.Dec(P[x]))
8. L' : T List
9. L' ⊆ v
10. ∀x:T. ((x ∈ L') ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ P[x])
⊢ [u / L'] ⊆ [u / v]

2
1. [T] : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀[P:T ⟶ ℙ]. ((∀x∈v.Dec(P[x])) ⇒ (∃L':T List. (L' ⊆ v ∧ (∀x:T. ((x ∈ L') ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ P[x])))))
5. [P] : T ⟶ ℙ
6. P[u]
7. (∀x∈v.Dec(P[x]))
8. L' : T List
9. L' ⊆ v
10. ∀x:T. ((x ∈ L') ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ P[x])
11. [u / L'] ⊆ [u / v]
12. x : T
13. (x = u ∈ T) ∨ (x ∈ L')
⊢ (x = u ∈ T) ∨ (x ∈ v)

3
1. [T] : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀[P:T ⟶ ℙ]. ((∀x∈v.Dec(P[x])) ⇒ (∃L':T List. (L' ⊆ v ∧ (∀x:T. ((x ∈ L') ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ P[x])))))
5. [P] : T ⟶ ℙ
6. P[u]
7. (∀x∈v.Dec(P[x]))
8. L' : T List
9. L' ⊆ v
10. ∀x:T. ((x ∈ L') ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ P[x])
11. [u / L'] ⊆ [u / v]
12. x : T
13. (x = u ∈ T) ∨ (x ∈ L')
⊢ P[x]

4
1. [T] : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀[P:T ⟶ ℙ]. ((∀x∈v.Dec(P[x])) ⇒ (∃L':T List. (L' ⊆ v ∧ (∀x:T. ((x ∈ L') ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ P[x])))))
5. [P] : T ⟶ ℙ
6. P[u]
7. (∀x∈v.Dec(P[x]))
8. L' : T List
9. L' ⊆ v
10. ∀x:T. ((x ∈ L') ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ P[x])
11. [u / L'] ⊆ [u / v]
12. x : T
13. (x = u ∈ T) ∨ (x ∈ v)
14. P[x]
⊢ (x = u ∈ T) ∨ (x ∈ L')

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  u  :  T
3.  v  :  T  List
4.  \mforall{}[P:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  ((\mforall{}x\mmember{}v.Dec(P[x]))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}L':T  List.  (L'  \msubseteq{}  v  \mwedge{}  (\mforall{}x:T.  ((x  \mmember{}  L')  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  v)  \mwedge{}  P[x])))))
5.  [P]  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  P[u]
7.  (\mforall{}x\mmember{}v.Dec(P[x]))
8.  \mexists{}L':T  List.  (L'  \msubseteq{}  v  \mwedge{}  (\mforall{}x:T.  ((x  \mmember{}  L')  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  v)  \mwedge{}  P[x])))
\mvdash{}  \mexists{}L':T  List.  (L'  \msubseteq{}  [u  /  v]  \mwedge{}  (\mforall{}x:T.  ((x  \mmember{}  L')  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  [u  /  v])  \mwedge{}  P[x])))


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  (InstConcl  [\mkleeneopen{}[u  /  L']\mkleeneclose{}])\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (All  (\mbackslash{}h.  (RWO  "cons\_member"  h  THENA  Complete  (Auto))))\mcdot{})

---

Home Index