---

Step * 2 2 1 1 2 1 1 1 1 of Lemma four-squares


1. p : {2...}
2. prime(p)
3. ¬(p = 2 ∈ ℤ)
4. ↑isOdd(p)
5. k : ℤ
6. p = ((2 * k) + 1) ∈ ℤ
7. a1 : ℕk + 1
8. a2 : ℕk + 1
9. ((-((a1 * a1) + 1)) mod p) = ((-((a2 * a2) + 1)) mod p) ∈ ℕp
10. ((-((a1 * a1) + 1)) mod p) ≡ (-((a1 * a1) + 1)) mod p
11. ((-((a2 * a2) + 1)) mod p) ≡ (-((a2 * a2) + 1)) mod p
12. (-((a2 * a2) + 1)) ≡ (-((a1 * a1) + 1)) mod p
13. ((a1 - a2) * (a1 + a2)) ≡ 0 mod p
14. c : ℤ
15. (a1 - a2 - 0) = (p * c) ∈ ℤ
⊢ a1 = a2 ∈ ℕk + 1
BY
{ (Decide ⌜c ≤ (-1)⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. p : {2...}
2. prime(p)
3. ¬(p = 2 ∈ ℤ)
4. ↑isOdd(p)
5. k : ℤ
6. p = ((2 * k) + 1) ∈ ℤ
7. a1 : ℕk + 1
8. a2 : ℕk + 1
9. ((-((a1 * a1) + 1)) mod p) = ((-((a2 * a2) + 1)) mod p) ∈ ℕp
10. ((-((a1 * a1) + 1)) mod p) ≡ (-((a1 * a1) + 1)) mod p
11. ((-((a2 * a2) + 1)) mod p) ≡ (-((a2 * a2) + 1)) mod p
12. (-((a2 * a2) + 1)) ≡ (-((a1 * a1) + 1)) mod p
13. ((a1 - a2) * (a1 + a2)) ≡ 0 mod p
14. c : ℤ
15. (a1 - a2 - 0) = (p * c) ∈ ℤ
16. c ≤ (-1)
⊢ a1 = a2 ∈ ℕk + 1

2
1. p : {2...}
2. prime(p)
3. ¬(p = 2 ∈ ℤ)
4. ↑isOdd(p)
5. k : ℤ
6. p = ((2 * k) + 1) ∈ ℤ
7. a1 : ℕk + 1
8. a2 : ℕk + 1
9. ((-((a1 * a1) + 1)) mod p) = ((-((a2 * a2) + 1)) mod p) ∈ ℕp
10. ((-((a1 * a1) + 1)) mod p) ≡ (-((a1 * a1) + 1)) mod p
11. ((-((a2 * a2) + 1)) mod p) ≡ (-((a2 * a2) + 1)) mod p
12. (-((a2 * a2) + 1)) ≡ (-((a1 * a1) + 1)) mod p
13. ((a1 - a2) * (a1 + a2)) ≡ 0 mod p
14. c : ℤ
15. (a1 - a2 - 0) = (p * c) ∈ ℤ
16. ¬(c ≤ (-1))
⊢ a1 = a2 ∈ ℕk + 1

---

Latex:

---

Latex:

1.  p  :  \{2...\}
2.  prime(p)
3.  \mneg{}(p  =  2)
4.  \muparrow{}isOdd(p)
5.  k  :  \mBbbZ{}
6.  p  =  ((2  *  k)  +  1)
7.  a1  :  \mBbbN{}k  +  1
8.  a2  :  \mBbbN{}k  +  1
9.  ((-((a1  *  a1)  +  1))  mod  p)  =  ((-((a2  *  a2)  +  1))  mod  p)
10.  ((-((a1  *  a1)  +  1))  mod  p)  \mequiv{}  (-((a1  *  a1)  +  1))  mod  p
11.  ((-((a2  *  a2)  +  1))  mod  p)  \mequiv{}  (-((a2  *  a2)  +  1))  mod  p
12.  (-((a2  *  a2)  +  1))  \mequiv{}  (-((a1  *  a1)  +  1))  mod  p
13.  ((a1  -  a2)  *  (a1  +  a2))  \mequiv{}  0  mod  p
14.  c  :  \mBbbZ{}
15.  (a1  -  a2  -  0)  =  (p  *  c)
\mvdash{}  a1  =  a2


By

---

Latex:
(Decide  \mkleeneopen{}c  \mleq{}  (-1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index