---

Step * 1 1 2 1 1 1 1 of Lemma gcd-exp


1. x : ℤ@i
2. y : ℤ@i
3. n : ℕ@i
4. gcd(x;y)^n | y^n
5. z : ℤ@i
6. z | x^n@i
7. z | y^n@i
8. v : ℤ@i
9. a : ℤ@i
10. b : ℤ@i
11. CoPrime(a,b)@i
12. x = (v * a) ∈ ℤ@i
13. y = (v * b) ∈ ℤ@i
14. CoPrime(a^n,b^n)
15. x1 : ℤ
16. y1 : ℤ
17. ((a^n * x1) + (b^n * y1)) = 1 ∈ ℤ
18. ((x1 * a^n * v^n) + (y1 * b^n * v^n)) = v^n ∈ ℤ
⊢ z | ((x1 * a * v^n) + (y1 * b * v^n))
BY
{ Subst ⌜a * v ~ x⌝ 0⋅ }

1
.....equality..... 
1. x : ℤ@i
2. y : ℤ@i
3. n : ℕ@i
4. gcd(x;y)^n | y^n
5. z : ℤ@i
6. z | x^n@i
7. z | y^n@i
8. v : ℤ@i
9. a : ℤ@i
10. b : ℤ@i
11. CoPrime(a,b)@i
12. x = (v * a) ∈ ℤ@i
13. y = (v * b) ∈ ℤ@i
14. CoPrime(a^n,b^n)
15. x1 : ℤ
16. y1 : ℤ
17. ((a^n * x1) + (b^n * y1)) = 1 ∈ ℤ
18. ((x1 * a^n * v^n) + (y1 * b^n * v^n)) = v^n ∈ ℤ
⊢ a * v ~ x

2
1. x : ℤ@i
2. y : ℤ@i
3. n : ℕ@i
4. gcd(x;y)^n | y^n
5. z : ℤ@i
6. z | x^n@i
7. z | y^n@i
8. v : ℤ@i
9. a : ℤ@i
10. b : ℤ@i
11. CoPrime(a,b)@i
12. x = (v * a) ∈ ℤ@i
13. y = (v * b) ∈ ℤ@i
14. CoPrime(a^n,b^n)
15. x1 : ℤ
16. y1 : ℤ
17. ((a^n * x1) + (b^n * y1)) = 1 ∈ ℤ
18. ((x1 * a^n * v^n) + (y1 * b^n * v^n)) = v^n ∈ ℤ
⊢ z | ((x1 * x^n) + (y1 * b * v^n))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbZ{}@i
2.  y  :  \mBbbZ{}@i
3.  n  :  \mBbbN{}@i
4.  gcd(x;y)\^{}n  |  y\^{}n
5.  z  :  \mBbbZ{}@i
6.  z  |  x\^{}n@i
7.  z  |  y\^{}n@i
8.  v  :  \mBbbZ{}@i
9.  a  :  \mBbbZ{}@i
10.  b  :  \mBbbZ{}@i
11.  CoPrime(a,b)@i
12.  x  =  (v  *  a)@i
13.  y  =  (v  *  b)@i
14.  CoPrime(a\^{}n,b\^{}n)
15.  x1  :  \mBbbZ{}
16.  y1  :  \mBbbZ{}
17.  ((a\^{}n  *  x1)  +  (b\^{}n  *  y1))  =  1
18.  ((x1  *  a\^{}n  *  v\^{}n)  +  (y1  *  b\^{}n  *  v\^{}n))  =  v\^{}n
\mvdash{}  z  |  ((x1  *  a  *  v\^{}n)  +  (y1  *  b  *  v\^{}n))


By

---

Latex:
Subst  \mkleeneopen{}a  *  v  \msim{}  x\mkleeneclose{}  0\mcdot{}

---

Home Index