---

Step * 1 2 1 2 1 1 of Lemma generic-countable-intersection


1. [T] : Type
2. [S] : ℕ ⟶ (ℕ ⟶ T) ⟶ ℙ'
3. F : i:ℕ ⟶ (∃R:ℕ ⟶ (T List) ⟶ ℙ
                ((∀i:ℕ. ∀s:T List.  ∃s':T List. (s ≤ s' ∧ (R i s')))
                ∧ (∀x:ℕ ⟶ T. ((∀i:ℕ. ∃s:T List. ((R i s) ∧ (∀n:ℕ||s||. (s[n] = (x n) ∈ T)))) ⇒ S[i;x]))))
4. code : ℕ ⟶ (ℕ × ℕ)
5. Surj(ℕ;ℕ × ℕ;code)
6. ∀i:ℕ. ∀s:T List.  ∃s':T List. (s ≤ s' ∧ (let i,j = code i in (fst((F i))) j s'))
7. x : ℕ ⟶ T
8. ∀i:ℕ. ∃s:T List. ((let i,j = code i in (fst((F i))) j s) ∧ (∀n:ℕ||s||. (s[n] = (x n) ∈ T)))
9. i : ℕ
10. i1 : ℕ
11. j : ℕ
⊢ ∃s:T List. (((fst((F i1))) j s) ∧ (∀n:ℕ||s||. (s[n] = (x n) ∈ T)))
BY
{ (Unfold `surject` 5 THEN ((InstHyp [⌜<i1, j>⌝] 5)⋅ THENA Auto) THEN ExRepD THEN ((InstHyp [⌜a⌝] 8)⋅ THENA Auto)) }

1
1. [T] : Type
2. [S] : ℕ ⟶ (ℕ ⟶ T) ⟶ ℙ'
3. F : i:ℕ ⟶ (∃R:ℕ ⟶ (T List) ⟶ ℙ
                ((∀i:ℕ. ∀s:T List.  ∃s':T List. (s ≤ s' ∧ (R i s')))
                ∧ (∀x:ℕ ⟶ T. ((∀i:ℕ. ∃s:T List. ((R i s) ∧ (∀n:ℕ||s||. (s[n] = (x n) ∈ T)))) ⇒ S[i;x]))))
4. code : ℕ ⟶ (ℕ × ℕ)
5. ∀b:ℕ × ℕ. ∃a:ℕ. ((code a) = b ∈ (ℕ × ℕ))
6. ∀i:ℕ. ∀s:T List.  ∃s':T List. (s ≤ s' ∧ (let i,j = code i in (fst((F i))) j s'))
7. x : ℕ ⟶ T
8. ∀i:ℕ. ∃s:T List. ((let i,j = code i in (fst((F i))) j s) ∧ (∀n:ℕ||s||. (s[n] = (x n) ∈ T)))
9. i : ℕ
10. i1 : ℕ
11. j : ℕ
12. a : ℕ
13. (code a) = <i1, j> ∈ (ℕ × ℕ)
14. ∃s:T List. ((let i,j = code a in (fst((F i))) j s) ∧ (∀n:ℕ||s||. (s[n] = (x n) ∈ T)))
⊢ ∃s:T List. (((fst((F i1))) j s) ∧ (∀n:ℕ||s||. (s[n] = (x n) ∈ T)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [S]  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}'
3.  F  :  i:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mexists{}R:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (T  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
                                ((\mforall{}i:\mBbbN{}.  \mforall{}s:T  List.    \mexists{}s':T  List.  (s  \mleq{}  s'  \mwedge{}  (R  i  s')))
                                \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
                                          ((\mforall{}i:\mBbbN{}.  \mexists{}s:T  List.  ((R  i  s)  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}||s||.  (s[n]  =  (x  n)))))  {}\mRightarrow{}  S[i;x]))))
4.  code  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}  \mtimes{}  \mBbbN{})
5.  Surj(\mBbbN{};\mBbbN{}  \mtimes{}  \mBbbN{};code)
6.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  \mforall{}s:T  List.    \mexists{}s':T  List.  (s  \mleq{}  s'  \mwedge{}  (let  i,j  =  code  i  in  (fst((F  i)))  j  s'))
7.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  \mexists{}s:T  List.  ((let  i,j  =  code  i  in  (fst((F  i)))  j  s)  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}||s||.  (s[n]  =  (x  n))))
9.  i  :  \mBbbN{}
10.  i1  :  \mBbbN{}
11.  j  :  \mBbbN{}
\mvdash{}  \mexists{}s:T  List.  (((fst((F  i1)))  j  s)  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}||s||.  (s[n]  =  (x  n))))


By

---

Latex:
(Unfold  `surject`  5
  THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}<i1,  j>\mkleeneclose{}]  5)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]  8)\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index