---

Step * 2 1 of Lemma int-sq-root


1. x : ℕ+
2. r : ℕ
3. [%2] : ((r * r) ≤ (x ÷ 4)) ∧ x ÷ 4 < (r + 1) * (r + 1)
4. x = (((x ÷ 4) * 4) + (x rem 4)) ∈ ℤ
5. (0 ≤ (x rem 4)) ∧ x rem 4 < 4
⊢ ∃r:ℕ [(((r * r) ≤ x) ∧ x < (r + 1) * (r + 1))]
BY
{ xxx((Evaluate ⌜2r = (2 * r) ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto)
      THEN (Evaluate ⌜2r' = (2r + 1) ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto)
      THEN (Decide ⌜x < 2r' * 2r'⌝⋅ THENA Auto))xxx }

1
1. x : ℕ+
2. r : ℕ
3. [%2] : ((r * r) ≤ (x ÷ 4)) ∧ x ÷ 4 < (r + 1) * (r + 1)
4. x = (((x ÷ 4) * 4) + (x rem 4)) ∈ ℤ
5. (0 ≤ (x rem 4)) ∧ x rem 4 < 4
6. 2r : ℤ
7. 2r = (2 * r) ∈ ℤ
8. 2r' : ℤ
9. 2r' = (2r + 1) ∈ ℤ
10. x < 2r' * 2r'
⊢ ∃r:ℕ [(((r * r) ≤ x) ∧ x < (r + 1) * (r + 1))]

2
1. x : ℕ+
2. r : ℕ
3. [%2] : ((r * r) ≤ (x ÷ 4)) ∧ x ÷ 4 < (r + 1) * (r + 1)
4. x = (((x ÷ 4) * 4) + (x rem 4)) ∈ ℤ
5. (0 ≤ (x rem 4)) ∧ x rem 4 < 4
6. 2r : ℤ
7. 2r = (2 * r) ∈ ℤ
8. 2r' : ℤ
9. 2r' = (2r + 1) ∈ ℤ
10. ¬x < 2r' * 2r'
⊢ ∃r:ℕ [(((r * r) ≤ x) ∧ x < (r + 1) * (r + 1))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  r  :  \mBbbN{}
3.  [\%2]  :  ((r  *  r)  \mleq{}  (x  \mdiv{}  4))  \mwedge{}  x  \mdiv{}  4  <  (r  +  1)  *  (r  +  1)
4.  x  =  (((x  \mdiv{}  4)  *  4)  +  (x  rem  4))
5.  (0  \mleq{}  (x  rem  4))  \mwedge{}  x  rem  4  <  4
\mvdash{}  \mexists{}r:\mBbbN{}  [(((r  *  r)  \mleq{}  x)  \mwedge{}  x  <  (r  +  1)  *  (r  +  1))]


By

---

Latex:
xxx((Evaluate  \mkleeneopen{}2r  =  (2  *  r)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
        THEN  (Evaluate  \mkleeneopen{}2r'  =  (2r  +  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
        THEN  (Decide  \mkleeneopen{}x  <  2r'  *  2r'\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))xxx

---

Home Index