---

Step * 2 3 of Lemma next_wf_bound

.....falsecase..... 
1. b : ℤ
2. 0 < b
3. ∀[k:ℤ]. ∀[p:{i:ℤ| k < i}  ⟶ 𝔹].
     (next i > k s.t. ↑p[i]) ∈ {i:ℤ| (k < i ∧ (i ≤ (k + (b - 1)))) ∧ (↑p[i]) ∧ (∀j:{k + 1..i-}. (¬↑p[j]))}  
     supposing ∃n:{i:ℤ| k < i ∧ (i ≤ (k + (b - 1)))} . (↑p[n])
4. k : ℤ
5. p : {i:ℤ| k < i}  ⟶ 𝔹
6. ∃n:{i:ℤ| k < i ∧ (i ≤ (k + b))} . (↑p[n])
7. ¬↑p[k + 1]
⊢ (next i > k + 1 s.t. ↑p[i]) ∈ {i:ℤ| (k < i ∧ (i ≤ (k + b))) ∧ (↑p[i]) ∧ (∀j:{k + 1..i-}. (¬↑p[j]))} 
BY
{ xxx(InstHyp [⌜k + 1⌝;⌜p⌝] 3⋅ THENA Auto)xxx }

1
.....antecedent..... 
1. b : ℤ
2. 0 < b
3. ∀[k:ℤ]. ∀[p:{i:ℤ| k < i}  ⟶ 𝔹].
     (next i > k s.t. ↑p[i]) ∈ {i:ℤ| (k < i ∧ (i ≤ (k + (b - 1)))) ∧ (↑p[i]) ∧ (∀j:{k + 1..i-}. (¬↑p[j]))}  
     supposing ∃n:{i:ℤ| k < i ∧ (i ≤ (k + (b - 1)))} . (↑p[n])
4. k : ℤ
5. p : {i:ℤ| k < i}  ⟶ 𝔹
6. ∃n:{i:ℤ| k < i ∧ (i ≤ (k + b))} . (↑p[n])
7. ¬↑p[k + 1]
⊢ ∃n:{i:ℤ| k + 1 < i ∧ (i ≤ ((k + 1) + (b - 1)))} . (↑p[n])

2
1. b : ℤ
2. 0 < b
3. ∀[k:ℤ]. ∀[p:{i:ℤ| k < i}  ⟶ 𝔹].
     (next i > k s.t. ↑p[i]) ∈ {i:ℤ| (k < i ∧ (i ≤ (k + (b - 1)))) ∧ (↑p[i]) ∧ (∀j:{k + 1..i-}. (¬↑p[j]))}  
     supposing ∃n:{i:ℤ| k < i ∧ (i ≤ (k + (b - 1)))} . (↑p[n])
4. k : ℤ
5. p : {i:ℤ| k < i}  ⟶ 𝔹
6. ∃n:{i:ℤ| k < i ∧ (i ≤ (k + b))} . (↑p[n])
7. ¬↑p[k + 1]
8. (next i > k + 1 s.t. ↑p[i]) ∈ {i:ℤ| 
                                  (k + 1 < i ∧ (i ≤ ((k + 1) + (b - 1)))) ∧ (↑p[i]) ∧ (∀j:{(k + 1) + 1..i-}. (¬↑p[j]))} 
⊢ (next i > k + 1 s.t. ↑p[i]) ∈ {i:ℤ| (k < i ∧ (i ≤ (k + b))) ∧ (↑p[i]) ∧ (∀j:{k + 1..i-}. (¬↑p[j]))} 

---

Latex:

---

Latex:
.....falsecase..... 
1.  b  :  \mBbbZ{}
2.  0  <  b
3.  \mforall{}[k:\mBbbZ{}].  \mforall{}[p:\{i:\mBbbZ{}|  k  <  i\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}].
          (next  i  >  k  s.t.  \muparrow{}p[i])  \mmember{}  \{i:\mBbbZ{}| 
                                                                (k  <  i  \mwedge{}  (i  \mleq{}  (k  +  (b  -  1))))
                                                                \mwedge{}  (\muparrow{}p[i])
                                                                \mwedge{}  (\mforall{}j:\{k  +  1..i\msupminus{}\}.  (\mneg{}\muparrow{}p[j]))\}   
          supposing  \mexists{}n:\{i:\mBbbZ{}|  k  <  i  \mwedge{}  (i  \mleq{}  (k  +  (b  -  1)))\}  .  (\muparrow{}p[n])
4.  k  :  \mBbbZ{}
5.  p  :  \{i:\mBbbZ{}|  k  <  i\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
6.  \mexists{}n:\{i:\mBbbZ{}|  k  <  i  \mwedge{}  (i  \mleq{}  (k  +  b))\}  .  (\muparrow{}p[n])
7.  \mneg{}\muparrow{}p[k  +  1]
\mvdash{}  (next  i  >  k  +  1  s.t.  \muparrow{}p[i])  \mmember{}  \{i:\mBbbZ{}| 
                                                                  (k  <  i  \mwedge{}  (i  \mleq{}  (k  +  b)))  \mwedge{}  (\muparrow{}p[i])  \mwedge{}  (\mforall{}j:\{k  +  1..i\msupminus{}\}.  (\mneg{}\muparrow{}p[j]))\} 


By

---

Latex:
xxx(InstHyp  [\mkleeneopen{}k  +  1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{}]  3\mcdot{}  THENA  Auto)xxx

---

Home Index