---

Step * 2 2 1 2 of Lemma p-fun-exp-add-sq


1. A : Type
2. f : A ⟶ (A + Top)
3. x : A
4. m : ℤ
5. 0 < m
6. ∀[n:ℕ]. f^n + (m - 1) x ~ f^n do-apply(f^m - 1;x) supposing ↑can-apply(f^m - 1;x)
7. n : ℕ
8. ↑can-apply(f^m;x)
9. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
10. 1 ≤ (n + m)
11. 1 ≤ n
12. 1 ≤ m
⊢ f o f^n do-apply(f^m - 1;x) ~ f o f^n - 1 do-apply(f o f^m - 1;x)
BY
{ xxx((RW (AddrC [2; 2] (UnfoldsC ``p-compose``)) 0)
      THEN RepUR ``do-apply`` 0
      THEN Fold `do-apply` 0
      THEN (SplitOnConclITE THENA Auto))xxx }

1
.....truecase..... 
1. A : Type
2. f : A ⟶ (A + Top)
3. x : A
4. m : ℤ
5. 0 < m
6. ∀[n:ℕ]. f^n + (m - 1) x ~ f^n do-apply(f^m - 1;x) supposing ↑can-apply(f^m - 1;x)
7. n : ℕ
8. ↑can-apply(f^m;x)
9. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
10. 1 ≤ (n + m)
11. 1 ≤ n
12. 1 ≤ m
13. ↑can-apply(f^m - 1;x)
⊢ f o f^n do-apply(f^m - 1;x) ~ f o f^n - 1 outl(f do-apply(f^m - 1;x))

2
.....falsecase..... 
1. A : Type
2. f : A ⟶ (A + Top)
3. x : A
4. m : ℤ
5. 0 < m
6. ∀[n:ℕ]. f^n + (m - 1) x ~ f^n do-apply(f^m - 1;x) supposing ↑can-apply(f^m - 1;x)
7. n : ℕ
8. ↑can-apply(f^m;x)
9. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
10. 1 ≤ (n + m)
11. 1 ≤ n
12. 1 ≤ m
13. ¬↑can-apply(f^m - 1;x)
⊢ f o f^n do-apply(f^m - 1;x) ~ f o f^n - 1 outl(f^m - 1 x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  Type
2.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  (A  +  Top)
3.  x  :  A
4.  m  :  \mBbbZ{}
5.  0  <  m
6.  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  f\^{}n  +  (m  -  1)  x  \msim{}  f\^{}n  do-apply(f\^{}m  -  1;x)  supposing  \muparrow{}can-apply(f\^{}m  -  1;x)
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  \muparrow{}can-apply(f\^{}m;x)
9.  \mneg{}(n  =  0)
10.  1  \mleq{}  (n  +  m)
11.  1  \mleq{}  n
12.  1  \mleq{}  m
\mvdash{}  f  o  f\^{}n  do-apply(f\^{}m  -  1;x)  \msim{}  f  o  f\^{}n  -  1  do-apply(f  o  f\^{}m  -  1;x)


By

---

Latex:
xxx((RW  (AddrC  [2;  2]  (UnfoldsC  ``p-compose``))  0)
        THEN  RepUR  ``do-apply``  0
        THEN  Fold  `do-apply`  0
        THEN  (SplitOnConclITE  THENA  Auto))xxx

---

Home Index