---

Step * 1 2 1 of Lemma wellfounded-llex


1. [A] : Type
2. [<] : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. ∀a,b:A.  SqStable(<[a;b])
4. ∀[P:A ⟶ ℙ]. ((∀j:A. ((∀k:A. (<[k;j] ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ (∀n:A. P[n]))
5. [P] : Des(A;a,b.<[a;b]) ⟶ ℙ
6. ∀j:Des(A;a,b.<[a;b]). ((∀k:Des(A;a,b.<[a;b]). ((k llex(A;a,b.<[a;b]) j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])
7. ∀[a:A]. ∀[m,k:Des(A;a,b.<[a;b])].  (descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k]) ∈ ℙ)
8. ∀[a:A]. ∀[m:Des(A;a,b.<[a;b])].  ({k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k])}  ∈ Type)
9. j : A
⊢ (∀k:A
     (<[k;j]
     ⇒ (∀m:Des(A;a,b.<[a;b])
           ((∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L]))
           ⇒ (∀k@0:{k@0:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [k / k@0])} . P[m @ [k / k@0]])))))
⇒ (∀m:Des(A;a,b.<[a;b])
      ((∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L]))
      ⇒ (∀k:{k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [j / k])} . P[m @ [j / k]])))
BY
{ TACTIC:At ⌜Type⌝ (D 0)⋅ }

1
1. [A] : Type
2. [<] : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. ∀a,b:A.  SqStable(<[a;b])
4. ∀[P:A ⟶ ℙ]. ((∀j:A. ((∀k:A. (<[k;j] ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ (∀n:A. P[n]))
5. [P] : Des(A;a,b.<[a;b]) ⟶ ℙ
6. ∀j:Des(A;a,b.<[a;b]). ((∀k:Des(A;a,b.<[a;b]). ((k llex(A;a,b.<[a;b]) j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])
7. ∀[a:A]. ∀[m,k:Des(A;a,b.<[a;b])].  (descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k]) ∈ ℙ)
8. ∀[a:A]. ∀[m:Des(A;a,b.<[a;b])].  ({k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k])}  ∈ Type)
9. j : A
10. ∀k:A
      (<[k;j]
      ⇒ (∀m:Des(A;a,b.<[a;b])
            ((∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L]))
            ⇒ (∀k@0:{k@0:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [k / k@0])} . P[m @ [k / k@0]]))))
⊢ ∀m:Des(A;a,b.<[a;b])
    ((∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L]))
    ⇒ (∀k:{k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [j / k])} . P[m @ [j / k]]))

2
.....wf..... 
1. A : Type
2. < : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. ∀a,b:A.  SqStable(<[a;b])
4. ∀[P:A ⟶ ℙ]. ((∀j:A. ((∀k:A. (<[k;j] ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ (∀n:A. P[n]))
5. P : Des(A;a,b.<[a;b]) ⟶ ℙ
6. ∀j:Des(A;a,b.<[a;b]). ((∀k:Des(A;a,b.<[a;b]). ((k llex(A;a,b.<[a;b]) j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])
7. ∀[a:A]. ∀[m,k:Des(A;a,b.<[a;b])].  (descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k]) ∈ ℙ)
8. ∀[a:A]. ∀[m:Des(A;a,b.<[a;b])].  ({k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k])}  ∈ Type)
9. j : A
⊢ istype(∀k:A
           (<[k;j]
           ⇒ (∀m:Des(A;a,b.<[a;b])
                 ((∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L]))
                 ⇒ (∀k@0:{k@0:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [k / k@0])} . P[m @ [k / k@0]])))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  [<]  :  A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}a,b:A.    SqStable(<[a;b])
4.  \mforall{}[P:A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  ((\mforall{}j:A.  ((\mforall{}k:A.  (<[k;j]  {}\mRightarrow{}  P[k]))  {}\mRightarrow{}  P[j]))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:A.  P[n]))
5.  [P]  :  Des(A;a,b.<[a;b])  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  \mforall{}j:Des(A;a,b.<[a;b]).  ((\mforall{}k:Des(A;a,b.<[a;b]).  ((k  llex(A;a,b.<[a;b])  j)  {}\mRightarrow{}  P[k]))  {}\mRightarrow{}  P[j])
7.  \mforall{}[a:A].  \mforall{}[m,k:Des(A;a,b.<[a;b])].    (descending(a,b.<[a;b];m  @  [a  /  k])  \mmember{}  \mBbbP{})
8.  \mforall{}[a:A].  \mforall{}[m:Des(A;a,b.<[a;b])].
          (\{k:Des(A;a,b.<[a;b])|  descending(a,b.<[a;b];m  @  [a  /  k])\}    \mmember{}  Type)
9.  j  :  A
\mvdash{}  (\mforall{}k:A
          (<[k;j]
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:Des(A;a,b.<[a;b])
                      ((\mforall{}L:Des(A;a,b.<[a;b]).  ((L  llex(A;a,b.<[a;b])  m)  {}\mRightarrow{}  P[L]))
                      {}\mRightarrow{}  (\mforall{}k@0:\{k@0:Des(A;a,b.<[a;b])|  descending(a,b.<[a;b];m  @  [k  /  k@0])\} 
                                  P[m  @  [k  /  k@0]])))))
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:Des(A;a,b.<[a;b])
            ((\mforall{}L:Des(A;a,b.<[a;b]).  ((L  llex(A;a,b.<[a;b])  m)  {}\mRightarrow{}  P[L]))
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}k:\{k:Des(A;a,b.<[a;b])|  descending(a,b.<[a;b];m  @  [j  /  k])\}  .  P[m  @  [j  /  k]])))


By

---

Latex:
TACTIC:At  \mkleeneopen{}Type\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}

---

Home Index