---

Step * 2 1 of Lemma lattice-extend-wc-meet


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. L : BoundedDistributiveLattice
5. eqL : EqDecider(Point(L))
6. f : T ⟶ Point(L)
7. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ (/\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)))
8. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
9. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
⊢ \/(λxs./\(f"(xs))"(a)) ∧ \/(λxs./\(f"(xs))"(b)) 
  ≤ \/(λxs./\(f"(xs))"
       (f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(b) s.t. λs.fset-contains-none(eq;s;x.Cs[x]))))
BY
{ ((InstLemma `fset-image-compose` [⌜fset(T)⌝;⌜fset(Point(L))⌝;⌜Point(L)⌝;⌜deq-fset(eq)⌝;⌜deq-fset(eqL)⌝;⌜eqL⌝; 
    ⌜λxs.f"(xs)⌝
                                        ; ⌜λls./\(ls)⌝]⋅
    THENA Auto
    )
   THEN RepUR ``compose`` -1
   THEN (RWO "-1<" 0 THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. L : BoundedDistributiveLattice
5. eqL : EqDecider(Point(L))
6. f : T ⟶ Point(L)
7. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ (/\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)))
8. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
9. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
10. ∀[s:fset(fset(T))]. (λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(s)) = λx./\(f"(x))"(s) ∈ fset(Point(L)))
⊢ \/(λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(a))) ∧ \/(λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(b))) 
  ≤ \/(λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"
                   (f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(b) s.t. λs.fset-contains-none(eq;s;x.Cs[x])))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  Cs  :  T  {}\mrightarrow{}  fset(fset(T))
4.  L  :  BoundedDistributiveLattice
5.  eqL  :  EqDecider(Point(L))
6.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  Point(L)
7.  \mforall{}x:T.  \mforall{}c:fset(T).    (c  \mmember{}  Cs[x]  {}\mRightarrow{}  (/\mbackslash{}(f"(c))  =  0))
8.  a  :  \{ac:fset(fset(T))| 
                (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))\} 
9.  b  :  \{ac:fset(fset(T))| 
                (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))\} 
\mvdash{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}xs./\mbackslash{}(f"(xs))"(a))  \mwedge{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}xs./\mbackslash{}(f"(xs))"(b)) 
    \mleq{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}xs./\mbackslash{}(f"(xs))"
              (f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(b)  s.t.  \mlambda{}s....)))


By

---

Latex:
((InstLemma  `fset-image-compose`  [\mkleeneopen{}fset(T)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}fset(Point(L))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}Point(L)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}deq-fset(eq)\mkleeneclose{};
    \mkleeneopen{}deq-fset(eqL)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}eqL\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}\mlambda{}xs.f"(xs)\mkleeneclose{}
                                                                            ;  \mkleeneopen{}\mlambda{}ls./\mbackslash{}(ls)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THENA  Auto
    )
  THEN  RepUR  ``compose``  -1
  THEN  (RWO  "-1<"  0  THENA  Auto))

---

Home Index