---

Step * 2 1 1 of Lemma lattice-extend-wc-meet


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. L : BoundedDistributiveLattice
5. eqL : EqDecider(Point(L))
6. f : T ⟶ Point(L)
7. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ (/\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)))
8. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
9. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
10. ∀[s:fset(fset(T))]. (λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(s)) = λx./\(f"(x))"(s) ∈ fset(Point(L)))
⊢ \/(λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(a))) ∧ \/(λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(b))) 
  ≤ \/(λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"
                   (f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(b) s.t. λs.fset-contains-none(eq;s;x.Cs[x])))))
BY
{ (RW (AddrC [2] (LemmaC lattice-meet-join-images-distrib)) 0⋅ THENA Auto) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. L : BoundedDistributiveLattice
5. eqL : EqDecider(Point(L))
6. f : T ⟶ Point(L)
7. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ (/\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)))
8. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
9. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
10. ∀[s:fset(fset(T))]. (λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(s)) = λx./\(f"(x))"(s) ∈ fset(Point(L)))
⊢ \/(λls./\(ls)"(f-union(deq-fset(eqL);deq-fset(eqL);λxs.f"(xs)"(a);as.λbs.as ⋃ bs"(λxs.f"(xs)"(b))))) 
  ≤ \/(λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"
                   (f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(b) s.t. λs.fset-contains-none(eq;s;x.Cs[x])))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  Cs  :  T  {}\mrightarrow{}  fset(fset(T))
4.  L  :  BoundedDistributiveLattice
5.  eqL  :  EqDecider(Point(L))
6.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  Point(L)
7.  \mforall{}x:T.  \mforall{}c:fset(T).    (c  \mmember{}  Cs[x]  {}\mRightarrow{}  (/\mbackslash{}(f"(c))  =  0))
8.  a  :  \{ac:fset(fset(T))| 
                (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))\} 
9.  b  :  \{ac:fset(fset(T))| 
                (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))\} 
10.  \mforall{}[s:fset(fset(T))].  (\mlambda{}ls./\mbackslash{}(ls)"(\mlambda{}xs.f"(xs)"(s))  =  \mlambda{}x./\mbackslash{}(f"(x))"(s))
\mvdash{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}ls./\mbackslash{}(ls)"(\mlambda{}xs.f"(xs)"(a)))  \mwedge{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}ls./\mbackslash{}(ls)"(\mlambda{}xs.f"(xs)"(b))) 
    \mleq{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}ls./\mbackslash{}(ls)"
              (\mlambda{}xs.f"(xs)"
                (f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(b)  s.t.  \mlambda{}s....))))


By

---

Latex:
(RW  (AddrC  [2]  (LemmaC  lattice-meet-join-images-distrib))  0\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index