---

Step * 1 2 1 1 of Lemma disjoint_sublists_witness


1. T : Type
2. L1 : T List
3. L2 : T List
4. L : T List
5. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
6. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
7. increasing(f1;||L1||)
8. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ T)
9. increasing(f2;||L2||)
10. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ T)
11. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||.  (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
12. g : ℕ||L1|| + ||L2|| ⟶ ℕ||L||
13. ∀i:ℕ||L1|| + ||L2||. ((g i) = if i <z ||L1|| then f1 i else f2 (i - ||L1||) fi  ∈ ℤ)
14. a1 : ℕ||L1|| + ||L2||
15. a2 : ℕ||L1|| + ||L2||
16. (g a1) = (g a2) ∈ ℕ||L||
⊢ a1 = a2 ∈ ℕ||L1|| + ||L2||
BY
{ (((((((((MoveToConcl (-1) THEN InstHyp [a1] (-3)) THENA Auto) THEN HypSubstSq (-1) 0) THEN Thin (-1))
       THEN InstHyp [a2] (-3)
       )
      THENA Auto
      )
     THEN HypSubstSq (-1) 0
     )
    THEN Thin (-1)
    )
   THEN Repeat (SplitOnConclITE THENA Auto)
   ) }

1
.....truecase..... 
1. T : Type
2. L1 : T List
3. L2 : T List
4. L : T List
5. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
6. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
7. increasing(f1;||L1||)
8. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ T)
9. increasing(f2;||L2||)
10. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ T)
11. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||.  (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
12. g : ℕ||L1|| + ||L2|| ⟶ ℕ||L||
13. ∀i:ℕ||L1|| + ||L2||. ((g i) = if i <z ||L1|| then f1 i else f2 (i - ||L1||) fi  ∈ ℤ)
14. a1 : ℕ||L1|| + ||L2||
15. a2 : ℕ||L1|| + ||L2||
16. a1 < ||L1||
17. a2 < ||L1||
⊢ ((f1 a1) = (f1 a2) ∈ ℕ||L||) ⇒ (a1 = a2 ∈ ℕ||L1|| + ||L2||)

2
.....falsecase..... 
1. T : Type
2. L1 : T List
3. L2 : T List
4. L : T List
5. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
6. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
7. increasing(f1;||L1||)
8. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ T)
9. increasing(f2;||L2||)
10. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ T)
11. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||.  (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
12. g : ℕ||L1|| + ||L2|| ⟶ ℕ||L||
13. ∀i:ℕ||L1|| + ||L2||. ((g i) = if i <z ||L1|| then f1 i else f2 (i - ||L1||) fi  ∈ ℤ)
14. a1 : ℕ||L1|| + ||L2||
15. a2 : ℕ||L1|| + ||L2||
16. a1 < ||L1||
17. ||L1|| ≤ a2
⊢ ((f1 a1) = (f2 (a2 - ||L1||)) ∈ ℕ||L||) ⇒ (a1 = a2 ∈ ℕ||L1|| + ||L2||)

3
.....truecase..... 
1. T : Type
2. L1 : T List
3. L2 : T List
4. L : T List
5. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
6. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
7. increasing(f1;||L1||)
8. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ T)
9. increasing(f2;||L2||)
10. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ T)
11. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||.  (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
12. g : ℕ||L1|| + ||L2|| ⟶ ℕ||L||
13. ∀i:ℕ||L1|| + ||L2||. ((g i) = if i <z ||L1|| then f1 i else f2 (i - ||L1||) fi  ∈ ℤ)
14. a1 : ℕ||L1|| + ||L2||
15. a2 : ℕ||L1|| + ||L2||
16. ||L1|| ≤ a1
17. a2 < ||L1||
⊢ ((f2 (a1 - ||L1||)) = (f1 a2) ∈ ℕ||L||) ⇒ (a1 = a2 ∈ ℕ||L1|| + ||L2||)

4
.....falsecase..... 
1. T : Type
2. L1 : T List
3. L2 : T List
4. L : T List
5. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
6. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
7. increasing(f1;||L1||)
8. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ T)
9. increasing(f2;||L2||)
10. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ T)
11. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||.  (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
12. g : ℕ||L1|| + ||L2|| ⟶ ℕ||L||
13. ∀i:ℕ||L1|| + ||L2||. ((g i) = if i <z ||L1|| then f1 i else f2 (i - ||L1||) fi  ∈ ℤ)
14. a1 : ℕ||L1|| + ||L2||
15. a2 : ℕ||L1|| + ||L2||
16. ||L1|| ≤ a1
17. ||L1|| ≤ a2
⊢ ((f2 (a1 - ||L1||)) = (f2 (a2 - ||L1||)) ∈ ℕ||L||) ⇒ (a1 = a2 ∈ ℕ||L1|| + ||L2||)

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  L1  :  T  List
3.  L2  :  T  List
4.  L  :  T  List
5.  f1  :  \mBbbN{}||L1||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L||
6.  f2  :  \mBbbN{}||L2||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L||
7.  increasing(f1;||L1||)
8.  \mforall{}j:\mBbbN{}||L1||.  (L1[j]  =  L[f1  j])
9.  increasing(f2;||L2||)
10.  \mforall{}j:\mBbbN{}||L2||.  (L2[j]  =  L[f2  j])
11.  \mforall{}j1:\mBbbN{}||L1||.  \mforall{}j2:\mBbbN{}||L2||.    (\mneg{}((f1  j1)  =  (f2  j2)))
12.  g  :  \mBbbN{}||L1||  +  ||L2||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L||
13.  \mforall{}i:\mBbbN{}||L1||  +  ||L2||.  ((g  i)  =  if  i  <z  ||L1||  then  f1  i  else  f2  (i  -  ||L1||)  fi  )
14.  a1  :  \mBbbN{}||L1||  +  ||L2||
15.  a2  :  \mBbbN{}||L1||  +  ||L2||
16.  (g  a1)  =  (g  a2)
\mvdash{}  a1  =  a2


By

---

Latex:
(((((((((MoveToConcl  (-1)  THEN  InstHyp  [a1]  (-3))  THENA  Auto)  THEN  HypSubstSq  (-1)  0)
            THEN  Thin  (-1)
            )
          THEN  InstHyp  [a2]  (-3)
          )
        THENA  Auto
        )
      THEN  HypSubstSq  (-1)  0
      )
    THEN  Thin  (-1)
    )
  THEN  Repeat  (SplitOnConclITE  THENA  Auto)
  )

---

Home Index