---

Step * 1 of Lemma interleaving_occurence_onto


1. [A] : Type
2. L : A List
3. L1 : A List
4. L2 : A List
5. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
6. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
7. ||L|| = (||L1|| + ||L2||) ∈ ℕ
8. increasing(f1;||L1||)
9. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ A)
10. increasing(f2;||L2||)
11. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ A)
12. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||.  (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
13. j : ℕ||L||
⊢ (∃k:ℕ||L1||. (j = (f1 k) ∈ ℤ)) ∨ (∃k:ℕ||L2||. (j = (f2 k) ∈ ℤ))
BY
{ (((InstLemma `nsub_finite\'` [||L1|| + ||L2||] THENA Auto') THEN Unfold `finite\'` (-1))
   THEN InstHyp [λx.if x <z ||L1|| then f1 x else f2 (x - ||L1||) fi ] (-1)
   ) }

1
.....wf..... 
1. A : Type
2. L : A List
3. L1 : A List
4. L2 : A List
5. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
6. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
7. ||L|| = (||L1|| + ||L2||) ∈ ℕ
8. increasing(f1;||L1||)
9. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ A)
10. increasing(f2;||L2||)
11. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ A)
12. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||.  (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
13. j : ℕ||L||
14. ∀f:ℕ||L1|| + ||L2|| ⟶ ℕ||L1|| + ||L2||
      (Inj(ℕ||L1|| + ||L2||;ℕ||L1|| + ||L2||;f) ⇒ Surj(ℕ||L1|| + ||L2||;ℕ||L1|| + ||L2||;f))
⊢ λx.if x <z ||L1|| then f1 x else f2 (x - ||L1||) fi  ∈ ℕ||L1|| + ||L2|| ⟶ ℕ||L1|| + ||L2||

2
.....antecedent..... 
1. [A] : Type
2. L : A List
3. L1 : A List
4. L2 : A List
5. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
6. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
7. ||L|| = (||L1|| + ||L2||) ∈ ℕ
8. increasing(f1;||L1||)
9. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ A)
10. increasing(f2;||L2||)
11. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ A)
12. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||.  (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
13. j : ℕ||L||
14. ∀f:ℕ||L1|| + ||L2|| ⟶ ℕ||L1|| + ||L2||
      (Inj(ℕ||L1|| + ||L2||;ℕ||L1|| + ||L2||;f) ⇒ Surj(ℕ||L1|| + ||L2||;ℕ||L1|| + ||L2||;f))
⊢ Inj(ℕ||L1|| + ||L2||;ℕ||L1|| + ||L2||;λx.if x <z ||L1|| then f1 x else f2 (x - ||L1||) fi )

3
1. [A] : Type
2. L : A List
3. L1 : A List
4. L2 : A List
5. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
6. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
7. ||L|| = (||L1|| + ||L2||) ∈ ℕ
8. increasing(f1;||L1||)
9. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ A)
10. increasing(f2;||L2||)
11. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ A)
12. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||.  (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
13. j : ℕ||L||
14. ∀f:ℕ||L1|| + ||L2|| ⟶ ℕ||L1|| + ||L2||
      (Inj(ℕ||L1|| + ||L2||;ℕ||L1|| + ||L2||;f) ⇒ Surj(ℕ||L1|| + ||L2||;ℕ||L1|| + ||L2||;f))
15. Surj(ℕ||L1|| + ||L2||;ℕ||L1|| + ||L2||;λx.if x <z ||L1|| then f1 x else f2 (x - ||L1||) fi )
⊢ (∃k:ℕ||L1||. (j = (f1 k) ∈ ℤ)) ∨ (∃k:ℕ||L2||. (j = (f2 k) ∈ ℤ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  L  :  A  List
3.  L1  :  A  List
4.  L2  :  A  List
5.  f1  :  \mBbbN{}||L1||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L||
6.  f2  :  \mBbbN{}||L2||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L||
7.  ||L||  =  (||L1||  +  ||L2||)
8.  increasing(f1;||L1||)
9.  \mforall{}j:\mBbbN{}||L1||.  (L1[j]  =  L[f1  j])
10.  increasing(f2;||L2||)
11.  \mforall{}j:\mBbbN{}||L2||.  (L2[j]  =  L[f2  j])
12.  \mforall{}j1:\mBbbN{}||L1||.  \mforall{}j2:\mBbbN{}||L2||.    (\mneg{}((f1  j1)  =  (f2  j2)))
13.  j  :  \mBbbN{}||L||
\mvdash{}  (\mexists{}k:\mBbbN{}||L1||.  (j  =  (f1  k)))  \mvee{}  (\mexists{}k:\mBbbN{}||L2||.  (j  =  (f2  k)))


By

---

Latex:
(((InstLemma  `nsub\_finite\mbackslash{}'`  [||L1||  +  ||L2||]  THENA  Auto')  THEN  Unfold  `finite\mbackslash{}'`  (-1))
  THEN  InstHyp  [\mlambda{}x.if  x  <z  ||L1||  then  f1  x  else  f2  (x  -  ||L1||)  fi  ]  (-1)
  )

---

Home Index