---

Step * 1 3 of Lemma interleaving_occurence_onto


1. [A] : Type
2. L : A List
3. L1 : A List
4. L2 : A List
5. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
6. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
7. ||L|| = (||L1|| + ||L2||) ∈ ℕ
8. increasing(f1;||L1||)
9. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ A)
10. increasing(f2;||L2||)
11. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ A)
12. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||.  (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
13. j : ℕ||L||
14. ∀f:ℕ||L1|| + ||L2|| ⟶ ℕ||L1|| + ||L2||
      (Inj(ℕ||L1|| + ||L2||;ℕ||L1|| + ||L2||;f) ⇒ Surj(ℕ||L1|| + ||L2||;ℕ||L1|| + ||L2||;f))
15. Surj(ℕ||L1|| + ||L2||;ℕ||L1|| + ||L2||;λx.if x <z ||L1|| then f1 x else f2 (x - ||L1||) fi )
⊢ (∃k:ℕ||L1||. (j = (f1 k) ∈ ℤ)) ∨ (∃k:ℕ||L2||. (j = (f2 k) ∈ ℤ))
BY
{ (((Unfold `surject` (-1) THEN Reduce (-1)) THEN InstHyp [j] (-1)) THENA Auto') }

1
1. [A] : Type
2. L : A List
3. L1 : A List
4. L2 : A List
5. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
6. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
7. ||L|| = (||L1|| + ||L2||) ∈ ℕ
8. increasing(f1;||L1||)
9. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ A)
10. increasing(f2;||L2||)
11. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ A)
12. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||.  (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
13. j : ℕ||L||
14. ∀f:ℕ||L1|| + ||L2|| ⟶ ℕ||L1|| + ||L2||
      (Inj(ℕ||L1|| + ||L2||;ℕ||L1|| + ||L2||;f) ⇒ Surj(ℕ||L1|| + ||L2||;ℕ||L1|| + ||L2||;f))
15. ∀b:ℕ||L1|| + ||L2||. ∃a:ℕ||L1|| + ||L2||. (if a <z ||L1|| then f1 a else f2 (a - ||L1||) fi  = b ∈ ℕ||L1|| + ||L2||)
16. ∃a:ℕ||L1|| + ||L2||. (if a <z ||L1|| then f1 a else f2 (a - ||L1||) fi  = j ∈ ℕ||L1|| + ||L2||)
⊢ (∃k:ℕ||L1||. (j = (f1 k) ∈ ℤ)) ∨ (∃k:ℕ||L2||. (j = (f2 k) ∈ ℤ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  L  :  A  List
3.  L1  :  A  List
4.  L2  :  A  List
5.  f1  :  \mBbbN{}||L1||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L||
6.  f2  :  \mBbbN{}||L2||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L||
7.  ||L||  =  (||L1||  +  ||L2||)
8.  increasing(f1;||L1||)
9.  \mforall{}j:\mBbbN{}||L1||.  (L1[j]  =  L[f1  j])
10.  increasing(f2;||L2||)
11.  \mforall{}j:\mBbbN{}||L2||.  (L2[j]  =  L[f2  j])
12.  \mforall{}j1:\mBbbN{}||L1||.  \mforall{}j2:\mBbbN{}||L2||.    (\mneg{}((f1  j1)  =  (f2  j2)))
13.  j  :  \mBbbN{}||L||
14.  \mforall{}f:\mBbbN{}||L1||  +  ||L2||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L1||  +  ||L2||
            (Inj(\mBbbN{}||L1||  +  ||L2||;\mBbbN{}||L1||  +  ||L2||;f)  {}\mRightarrow{}  Surj(\mBbbN{}||L1||  +  ||L2||;\mBbbN{}||L1||  +  ||L2||;f))
15.  Surj(\mBbbN{}||L1||  +  ||L2||;\mBbbN{}||L1||  +  ||L2||;\mlambda{}x.if  x  <z  ||L1||  then  f1  x  else  f2  (x  -  ||L1||)  fi  )
\mvdash{}  (\mexists{}k:\mBbbN{}||L1||.  (j  =  (f1  k)))  \mvee{}  (\mexists{}k:\mBbbN{}||L2||.  (j  =  (f2  k)))


By

---

Latex:
(((Unfold  `surject`  (-1)  THEN  Reduce  (-1))  THEN  InstHyp  [j]  (-1))  THENA  Auto')

---

Home Index