---

Step * 2 of Lemma adjugate-property


1. r : CRng
2. n : ℕ
3. M : Matrix(n;n;r)
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. x : ℕn@i
6. y : ℕn@i
7. |matrix(if a=y then M[x,b] else M[a,b])| = (|M| * if x=y then 1 else 0) ∈ |r|
⊢ (Σ(r) 0 
        ≤ i 
        < n
    M[x,i] * if isEven(i + y) then |matrix-minor(y;i;M)| else -r |matrix-minor(y;i;M)| fi )
= (|M| * if x=y then 1 else 0)
∈ |r|
BY
{ (NthHypEqTrans (-1)
   THEN Assert ⌜∀M:Matrix(n;n;r). ∀x:ℕn.
                  (|M|
                  = (Σ(r) 0 
                          ≤ i 
                          < n
                      if isEven(i + x) then M[x,i] else -r M[x,i] fi  * |matrix-minor(x;i;M)|)
                  ∈ |r|)⌝⋅
   ) }

1
.....assertion..... 
1. r : CRng
2. n : ℕ
3. M : Matrix(n;n;r)
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. x : ℕn@i
6. y : ℕn@i
7. |matrix(if a=y then M[x,b] else M[a,b])| = (|M| * if x=y then 1 else 0) ∈ |r|
⊢ ∀M:Matrix(n;n;r). ∀x:ℕn.
    (|M| = (Σ(r) 0 ≤ i < n. if isEven(i + x) then M[x,i] else -r M[x,i] fi  * |matrix-minor(x;i;M)|) ∈ |r|)

2
1. r : CRng
2. n : ℕ
3. M : Matrix(n;n;r)
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. x : ℕn@i
6. y : ℕn@i
7. |matrix(if a=y then M[x,b] else M[a,b])| = (|M| * if x=y then 1 else 0) ∈ |r|
8. ∀M:Matrix(n;n;r). ∀x:ℕn.
     (|M| = (Σ(r) 0 ≤ i < n. if isEven(i + x) then M[x,i] else -r M[x,i] fi  * |matrix-minor(x;i;M)|) ∈ |r|)
⊢ |matrix(if a=y then M[x,b] else M[a,b])|
= (Σ(r) 0 
        ≤ i 
        < n
    M[x,i] * if isEven(i + y) then |matrix-minor(y;i;M)| else -r |matrix-minor(y;i;M)| fi )
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  M  :  Matrix(n;n;r)
4.  \mneg{}(n  =  0)
5.  x  :  \mBbbN{}n@i
6.  y  :  \mBbbN{}n@i
7.  |matrix(if  a=y  then  M[x,b]  else  M[a,b])|  =  (|M|  *  if  x=y  then  1  else  0)
\mvdash{}  (\mSigma{}(r)  0 
                \mleq{}  i 
                <  n
        M[x,i]  *  if  isEven(i  +  y)  then  |matrix-minor(y;i;M)|  else  -r  |matrix-minor(y;i;M)|  fi  )
=  (|M|  *  if  x=y  then  1  else  0)


By

---

Latex:
(NthHypEqTrans  (-1)
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}M:Matrix(n;n;r).  \mforall{}x:\mBbbN{}n.
                                (|M|
                                =  (\mSigma{}(r)  0 
                                                \mleq{}  i 
                                                <  n
                                        if  isEven(i  +  x)  then  M[x,i]  else  -r  M[x,i]  fi    *  |matrix-minor(x;i;M)|))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  )

---

Home Index