---

Step * 1 1 of Lemma cross-product-equal-0-iff


1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. ∃c1,c2:|r|. ((¬(c1 = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬(c2 = 0 ∈ |r|)) ∧ ((c1*a) = (c2*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)))
⊢ ∀l:ℕ3 ⟶ |r|. ((a . l) = 0 ∈ |r| ⇐⇒ (b . l) = 0 ∈ |r|)
BY
{ ((ExRepD THENW Auto)
   THEN (ApFunToHypEquands `Z' ⌜(Z . l)⌝ ⌜|r|⌝ (-2)⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "scalar-product-mul" (-1) THEN Auto)
   THEN ((RWO  "-1" (-2) THENM RW RngNormC (-2)) THENA Auto)) }

1
1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. c1 : |r|
6. c2 : |r|
7. ¬(c1 = 0 ∈ |r|)
8. ¬(c2 = 0 ∈ |r|)
9. (c1*a) = (c2*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)
10. l : ℕ3 ⟶ |r|
11. 0 = (c2 * (b . l)) ∈ |r|
12. (a . l) = 0 ∈ |r|
⊢ (b . l) = 0 ∈ |r|

2
1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. c1 : |r|
6. c2 : |r|
7. ¬(c1 = 0 ∈ |r|)
8. ¬(c2 = 0 ∈ |r|)
9. (c1*a) = (c2*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)
10. l : ℕ3 ⟶ |r|
11. (c1 * (a . l)) = 0 ∈ |r|
12. (b . l) = 0 ∈ |r|
⊢ (a . l) = 0 ∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  IntegDom\{i\}
2.  a  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
3.  b  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
4.  \mforall{}x,y:|r|.    Dec(x  =  y)
5.  \mexists{}c1,c2:|r|.  ((\mneg{}(c1  =  0))  \mwedge{}  (\mneg{}(c2  =  0))  \mwedge{}  ((c1*a)  =  (c2*b)))
\mvdash{}  \mforall{}l:\mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|.  ((a  .  l)  =  0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (b  .  l)  =  0)


By

---

Latex:
((ExRepD  THENW  Auto)
  THEN  (ApFunToHypEquands  `Z'  \mkleeneopen{}(Z  .  l)\mkleeneclose{}  \mkleeneopen{}|r|\mkleeneclose{}  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "scalar-product-mul"  (-1)  THEN  Auto)
  THEN  ((RWO    "-1"  (-2)  THENM  RW  RngNormC  (-2))  THENA  Auto))

---

Home Index