---

Step * 2 2 of Lemma cross-product-equal-0-iff


1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. (a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)) ∨ (b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)) ∨ (∀l:ℕ3 ⟶ |r|. ((a . l) = 0 ∈ |r| ⇐⇒ (b . l) = 0 ∈ |r|))
6. ∀a,b:ℕ3 ⟶ |r|.  Dec(a = b ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
7. ¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
8. ¬(b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
9. ¬((a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
10. ∃l:{p:ℕ3 ⟶ |r|| ¬(p = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))}  [(((a . l) = 0 ∈ |r|) ∧ (¬((b . l) = 0 ∈ |r|)))]
⊢ (a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)
BY
{ (D -1 THEN SplitOrHyps THEN Auto) }

1
1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. ∀l:ℕ3 ⟶ |r|. ((a . l) = 0 ∈ |r| ⇐⇒ (b . l) = 0 ∈ |r|)
6. ∀a,b:ℕ3 ⟶ |r|.  Dec(a = b ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
7. ¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
8. ¬(b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
9. ¬((a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
10. l : {p:ℕ3 ⟶ |r|| ¬(p = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))} 
11. (a . l) = 0 ∈ |r|
12. ¬((b . l) = 0 ∈ |r|)
⊢ (a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  IntegDom\{i\}
2.  a  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
3.  b  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
4.  \mforall{}x,y:|r|.    Dec(x  =  y)
5.  (a  =  0)  \mvee{}  (b  =  0)  \mvee{}  (\mforall{}l:\mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|.  ((a  .  l)  =  0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (b  .  l)  =  0))
6.  \mforall{}a,b:\mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|.    Dec(a  =  b)
7.  \mneg{}(a  =  0)
8.  \mneg{}(b  =  0)
9.  \mneg{}((a  x  b)  =  0)
10.  \mexists{}l:\{p:\mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r||  \mneg{}(p  =  0)\}    [(((a  .  l)  =  0)  \mwedge{}  (\mneg{}((b  .  l)  =  0)))]
\mvdash{}  (a  x  b)  =  0


By

---

Latex:
(D  -1  THEN  SplitOrHyps  THEN  Auto)

---

Home Index