---

Step * 2 of Lemma cross-product-equal-0-iff


1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. (a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)) ∨ (b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)) ∨ (∀l:ℕ3 ⟶ |r|. ((a . l) = 0 ∈ |r| ⇐⇒ (b . l) = 0 ∈ |r|))
⊢ (a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)
BY
{ ((Assert ∀a,b:ℕ3 ⟶ |r|.  Dec(a = b ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)) BY
          Auto)
   THEN ((Decide ⌜a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)⌝⋅ THENA Auto)
         THENL [(RWO "-1" 0 THEN Auto)
               ; ((Decide ⌜b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)⌝⋅ THENA Auto)
                  THENL [(RWO "-1" 0 THEN Auto)
                        ; (SupposeNot THEN (InstLemma `cross-product-non-zero-implies-ext` [⌜r⌝;⌜a⌝;⌜b⌝]⋅ THENA Auto))]
               )]
        )
   ) }

1
1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. (a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)) ∨ (b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)) ∨ (∀l:ℕ3 ⟶ |r|. ((a . l) = 0 ∈ |r| ⇐⇒ (b . l) = 0 ∈ |r|))
6. ∀a,b:ℕ3 ⟶ |r|.  Dec(a = b ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
7. a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)
⊢ (0 x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)

2
1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. (a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)) ∨ (b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)) ∨ (∀l:ℕ3 ⟶ |r|. ((a . l) = 0 ∈ |r| ⇐⇒ (b . l) = 0 ∈ |r|))
6. ∀a,b:ℕ3 ⟶ |r|.  Dec(a = b ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
7. ¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
8. ¬(b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
9. ¬((a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
10. ∃l:{p:ℕ3 ⟶ |r|| ¬(p = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))}  [(((a . l) = 0 ∈ |r|) ∧ (¬((b . l) = 0 ∈ |r|)))]
⊢ (a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  IntegDom\{i\}
2.  a  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
3.  b  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
4.  \mforall{}x,y:|r|.    Dec(x  =  y)
5.  (a  =  0)  \mvee{}  (b  =  0)  \mvee{}  (\mforall{}l:\mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|.  ((a  .  l)  =  0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (b  .  l)  =  0))
\mvdash{}  (a  x  b)  =  0


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}a,b:\mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|.    Dec(a  =  b)  BY
                Auto)
  THEN  ((Decide  \mkleeneopen{}a  =  0\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
              THENL  [(RWO  "-1"  0  THEN  Auto)
                          ;  ((Decide  \mkleeneopen{}b  =  0\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                                THENL  [(RWO  "-1"  0  THEN  Auto)
                                            ;  (SupposeNot
                                                  THEN  (InstLemma  `cross-product-non-zero-implies-ext`  [\mkleeneopen{}r\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                                              THENA  Auto
                                                              )
                                                  )]
                          )]
            )
  )

---

Home Index